Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

ГЛАВА 2. СИСТЕМА АКСИОМ А.Д.АЛЕКСАНДРОВА ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Основные положения

Александр Данилович Александров (22 июля [4 августа] 1912 – 27 июля 1999) – математик, физик, философ. Организатор образования и науки в системе высшей школы. Ректор Ленинградского государственного университета (1952 – 1964). Академик АН СССР и РАН. Заслуженный деятель науки и техники РСФСР. Лауреат Сталинской премии. Научный руководитель математика Григория Перельмана.
В 1987 г. вышла книга А.Д.Александрова «Основания геометрии», в которой автор предлагает свою аксиоматику евклидовой геометрии. Основная идея выбора аксиом планиметрии сформулирована автором в первом абзаце введения:
«Известно что геометрия возникла из практики, в частности из измерений земли; само слово «геометрия» и означает «землемерие». Поэтому фактически основания геометрии, по крайней мере геометрии на плоскости – планиметрии, лежат в этой практике. Соответственно, наиболее естественные логические основания геометрии, содержащиеся в ее аксиомах, должны всевозможно ближе выражать ту же практику, лишь представляя ее в идиализированном виде…» [1]
При теоретическом изложении геометрии, как и всякой теории, некоторые понятия должны быть приняты за исходные, которые не определяются в самой теории, но служат для определения остальных ее понятий. Одни из этих понятий означают основные объекты, с которыми имеет дело геометрия, другие – отношения между этими объектами.
Основные объекты системы аксиом А.Д.Александрова:

1. 
   точки;
   
2. 
   отрезки. Основные отношения:
   

1. 
   точка служит концом отрезка;
   
2. 
   точка лежит на отрезке (или, как говорят, лежит внутри отрезка)
   
3. 
   два отрезка равные друг другу (или, что равносильно, один отрезок равен другому)
   

Точки обозначаются, как обычно: А, В и т.п.; отрезки и т.п. Если точка С лежит на отрезке , то кратко пишем: С на . (рис.1)

Рис. 1 Точка С лежит на отрезке .

Точки, лежащие на отрезке, а также его концы считаются точками этого отрезка.
Определим некоторые другие начальные понятия геометрии:

1. 
   Отрезок содержится в отрезке b ( , если все его точки являются также точками отрезка b.
   
2. 
   Отрезки образуют отрезок с ( если они содержатся в с и у нет точек, не принадлежащим им.
   
3. 
   Отрезок отложен вдоль отрезка от его конца , если у этих отрезков есть общий конец и один содержится в другом: или или . (рис.2) Говорят, что такие отрезки налагаются один на другой.
   

Рис. 2 Отложение отрезков

4. 
   Два отрезка пересекаются, если на них есть единственная общая точка.
   

Данная теория описывает основания геометрии на плоскости – планиметрии. Однако само понятие плоскости в них не упоминается. Здесь плоскость – это пространство, та среда, где выполняются высказываемые далее аксиомы и основанная на них геометрия.
Рассмотрим аксиомы планиметрии. Большинство среди них – это утверждения, которые были выведены из практического опыта. К ним присоединяются несколько аксиом, которые выражают некоторые свойства отрезков, например, что у каждого отрезка два конца, и что всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка.
Дело в том, что понятие «отрезка» в системе аксиом А.Д.Александрова является основным, поэтому его определение не формулируется. Однако для того, чтобы исходя из этого понятия делать выводы, указываются те свойства отрезков, которыми необходимо пользоваться при построении системы аксиом. Все аксиомы делятся на две группы: линейные и плоскостные. Разделение аксиом на линейные и плоскостные имеет то значение, что на основе одних линейных аксиом можно обосновать измерение отрезков, определить прямую и ввести координаты на прямой, установив тем самым связь «геометрической» прямой с «числовой». Плоскостные же аксиомы вместе с линейными дают основание для построения планиметрии, начиная с равенства треугольников.
Сформулируем эти аксиомы.

2.