Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Линейные аксиомы

Линейные (те аксиомы, в которых присутствует представление о плоскости, так что они могли бы относиться к точкам и отрезкам, лежащим на одной прямой).
Линейные аксиомы делятся на 3 подгруппы.

1. 
   Аксиомы связи. Это аксиомы, в которых участвуют только такие отношения: точка лежит на отрезке или является его концом.
   

(аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок; у каждого отрезка есть два и только два конца; кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.
(аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним. Другими словами, для каждых двух точек существует и притом единственный отрезок, концами которого они служит.
Отрезок с концами А и В обозначается АВ. По аксиоме у каждого отрезка два и только два конца, а по аксиоме отрезок с данными концами только один. Поэтому всякий отрезок можно обозначать его концами, и это обозначение однозначно. Наряду с выражениями «существует отрезок»,
«рассмотрим отрезок», мы будем в том же смысле употреблять такие: «можно провести отрезок», «проведем отрезок» и т. п.
(аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, то есть если С лежит на отрезке АВ, то отрезки АС, ВС образуют вместе отрезок АВ и не имеют общих точек кроме С.
(аксиома соединения отрезков). Если точка С лежит на отрезке АВ, а В на CD, то отрезки АВ, CD образуют отрезок AD. (рис.3)

Рис. 3 Соединение отрезков

Аксиомы равенства. Это аксиомы, в которых фигурирует отношение равенства отрезков.
(аксиома откладывания отрезка). При любых двух отрезках АВ, MN существует и притом единственный отрезок АС, равный MN и налегающий на АВ. Другими словами: при любых отрезках АВ, MN, можно отложить вдоль АВ отрезок АС, равный MN, и притом только один (рис.4).

Рис. 4 Откладывание отрезков

(аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
(аксиома сложения). Если С на АВ, на , и AC= , то АВ= (рис.5).

Рис. 5 Сравнение отрезков

(аксиома Архимеда). При любых данных отрезках существует содержащий АВ отрезок , на котором есть такие точки , что все отрезки равны . Короче – при любых отрезках можно отложить вдоль b отрезки, равные а, столько раз, что они «покроют» (рис.6).

Рис. 6 Аксиома Архимеда

Аксиома непрерывности. Если имеется бесконечная последовательность вложенных отрезков, т. е. если то существует точка, общая всем этим отрезкам (рис.7).

Рис. 7 Аксиома о вложенных отрезках

Эта аксиома не выводится напрямую из практики, подобно остальным, так как в ней говорится о бесконечной последовательности отрезков. Она формулируется отдельно от остальных аксиом. Однако, ее смысл довольно понятен. Представим себе на отрезке АВ стягивающиеся отрезки так, что точки и неограниченно сближаются. Если бы между ними не было точки, то отрезок АВ не был бы сплошным, непрерывным, тут
был бы в нем разрыв. Аксиома утверждает, что это исключено: всякий отрезок сплошной, в нем нет разрывов.
Рассмотрим понятия продолжения отрезка, луча и прямой.
Продолжение отрезка АВ за один конец В – это отрезок АС, содержащий АВ; продолжение за оба конца – это отрезок ВС, содержащий АВ такой, что точки А и В лежат на CD (рис.8)

Рис. 8 Продолжение отрезков

Действительно, на отрезке АВ возьмем точку С и отложим вдоль отрезка СВ отрезок CD, равный АВ. Точка D не может совпасть с точкой В (мы получим противоречие с аксиомой о единстве отрезка BC=BA, но С не равно А). Если D лежит на отрезке АВ, то по аксиоме Архимеда, откладывая D от точки С вдоль СВ последовательно некоторое число отрезков, равных АВ, мы получим отрезок AD, содержащий отрезок АВ. Таким образом, мы продолжили отрезок АВ за конец В на отрезок BD. Даже откладывая заданный отрезок MN от точки В вдоль BD, мы получим отрезок AL, являющийся продолжением отрезка АВ за его конец В на отрезок MN (аксиома соединения отрезков ).
Аналогично можно продолжить отрезок АВ и за конец А.
Следовательно, каждый отрезок можно продолжить за оба его конца на отрезки, равные данным.
Неограниченное бесконечное продолжение отрезка АВ за его конец В называется лучом и обозначается . Точка А называется началом луча.
Неограниченное продолжение отрезка АВ за оба его конца называется прямой (АВ).
Неограниченно продолжать – это значит продолжать на отрезок, больше любых наперед заданных.
Таким образом, понятие бесконечной прямой возникает из представления о продолжении отрезка.

3.