Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Плоскостные аксиомы

Плоскостных аксиом, которые касаются фигур, не укладывающихся на прямой, всего три. Обозначим их .
Пусть – какой-либо отрезок. Для точек, не лежащих ни на каком отрезке, содержащем , введем определение.

1. 
   Точки CD лежат с одной стороны от , если отрезок CD не пересекает никакого отрезка, содержащего .
   
2. 
   Точки А, В лежат с разных сторон от , если напротив, отрезок АВ пересекает какой – либо отрезок, содержащий (рис. 9).
   

Рис. 9 Расположение точек относительно прямой

(аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем , делятся на два класса: в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от , а в другой – точки, лежащие с другой стороны от , причем в каждом классе есть точки.
Если говорить о точках, «лежащих с данной стороны от отрезка », то это значит, что они входят в один, из указанных классов, и класс задается какой- нибудь его точкой. Можно сказать, что данная сторона отрезка «дана» тем,
что указывается точка, не лежащая ни на каком отрезке, содержащем . В этом смысле понятны выражения «с данной стороны от », «с одной и с другой стороны от ». Именно в этом смысле говорят об откладывании угла по данную сторону какого – либо отрезка.
Угол «образуется» двумя отрезками с общим концом. Исходя из этого, определим угол через аксиоматически введенные понятия: угол – это пара отрезков с общим концом, эти отрезки – стороны угла, их общий конец – вершина угла. Если вместо этих сторон взять другие отрезки, на них налегающие, с общим концом в той же вершине, то о таких парах отрезков мы говорим, что они представляют (образуют) один и тот же угол и также служат его сторонами, т. е. угол рассматривается с точностью до «удлинения или укорочения» сторон. Далее слово угол, а также – стороны угла, будем употреблять в этих двух легко различимых контекста смыслах, т. е. либо как два данных отрезка с общим концом, либо как любые два отрезка из представляющих один и тот же угол.
Существуют три возможности для взаимного расположения двух отрезков с общим концом:

1. 
   Каждый из отрезков лежит целиком с одной стороны от другого, т. е. все его точки, кроме общего конца, лежат с одной стороны. В этом случае мы говорим, что угол, образованный отрезками, настоящий.
   
2. 
   Отрезки служат один продолжением другого, т. е. образуют один отрезок и не имеют общих точек помимо общей вершины; тогда угол развернутый.
   
3. 
   Отрезки налегают один на другой; тогда угол нулевой. В дальнейшем мы вовсе исключаем нулевой угол, так что слово «угол» всегда будет обозначать настоящий или развернутый угол.
   

Угол обозначается либо вершиной, либо сторонами: – угол с
вершиной О, – угол со сторонами (если отрезки обозначаются его концами, то угол со сторонами OP, OQ обозначают POQ или QOP).
Если отрезок служит стороной, а его конец А – вершиной настоящего угла, то говорим, что угол отложен от отрезка , от его конца А. Угол считается отложенным по ту сторону от отрезка , где лежит его вторая сторона (соответственно, кроме вершины А).
Используя понятие равенства отрезков, определим равенство углов.
Определение. Поперечиной угла называется отрезок с концами на сторонах угла. Поперечины АВ, углов , соответственные,
. (рис.10)

Рис. 10 Равенство углов

Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины. Отметим, что равенство углов может определяться любой парой соответственных поперечин. Если речь идет о равенстве углов О, и в угле О взята поперечина АВ, то можно сказать, что мы определяем равенство углов О, , пользуясь поперечиной АВ.
(аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному (настоящему) углу. При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же (в смысле данного выше определения «с точностью до продолжения и укорочения сторон»).
Опираясь на определения понятий поперечины и равенства углов, аксиому можно описать следующим образом.
Пусть даны угол POQ и отрезок . Какие бы точки А, В на сторонах угла POQ ни взять, можно провести отрезок с данной стороны от так, что если на на и , то .
При этом угол будет тот же самый (в смысле, указанном в самом определении угла) при любых точках А, В на сторонах угла POQ (рис.11).

Рис. 11 Аксиома откладывания угла

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие образуют вместе один отрезок, не налегая друг на друга (рис.12).

Рис. 12 Смежные углы

Определение. Если угол равен своему смежному, то он называется прямым (рис. 13).

Рис. 13 Прямой угол

(аксиома параллельных отрезков). Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка АВ под прямым углом, то CD = AB. Отрезки AC, BD называются параллельными (рис.14).

Рис. 14 Аксиома параллельных отрезков

4.