Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

ГЛАВА 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.
Идея построения научной теории была сформулирована к началу III в.до н.э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля. Однако впервые аксиоматический метод применил Евклид в своей знаменитой книге «Начала».
«Начала» Евклида состоят из 13 книг (глав), из которых пятая, седьмая, восьмая, девятая и десятая главы посвящены арифметике, а остальные – геометрии. Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые определены в этой книге. Далее перечислены постулаты (аксиомы) – утверждения, принимаемые без доказательства. Затем идут теоремы, расположенные в порядке их логической зависимости так, чтобы каждое утверждение можно было доказать на основании предыдущих утверждений, постулатов и аксиом. «Начала» Евклида на протяжении многих веков служили образцом аксиоматического изложения научной теории.
Всякая аксиоматическая теория строится по следующей схеме:

• 
  перечисляются основные (неопределяемые) понятия: основные объекты и основные отношения – отправные понятия, принимаемые без определения;
  
• 
  перечисляются аксиомы – исходные предложения теории, принимаемые без доказательства, в которых выражены некоторые простейшие свойства основных понятий;
  
• 
  все другие понятия теории определяются через основные и ранее введенные понятия;
  
• 
  все другие утверждения теории доказываются с помощью аксиом и ранее доказанных утверждений[12].
  

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, например, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Необходимость введения
основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.
При изложении вопросов обоснования некоторых теорий удобно использовать понятие математической структуры. Математическая структура определяется заданием базисных множеств , основных отношений между элементами этих множеств и системы аксиом , в которых перечисляются некоторые простейшие свойства этих отношений. Принято следующее обозначение математической структуры:

Математические структуры делятся на 3 типа:

• 
  алгебраические;
  
• 
  топологические;
  
• 
  структуры порядка.
  

Определение 1. Пусть - система аксиом математической структуры S. Совокупность всех утверждений (теорем), которые можно доказать на основе системы аксиом , называются теорией и обозначаются .
Определение 2. Если теории двух систем аксиом и совпадают, т.е. , то такие системы аксиом называются эквивалентными[12].
^{Пусть Σ – математическая структура. Всякий} набор базисных множеств элементов конкретной природы и конкретных базисных отношений, удовлетворяющих системе аксиом Σ, называется моделью или интерпретацией математической структуры (системы аксиом). При этом базисные множества и основные отношения определяются с использованием некоторой аксиоматической теории так, чтобы аксиомы системы Σ были истинными утверждениями этой теории.
^{Например, если структура группы, то ее моделями} являются т.д.
Определение 3. Азоморфными называются две модели системы аксиом Σ, если между элементами их базисных множеств можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) так, что соответствующие элементы находятся в одноименных отношениях[6].
При построении аксиоматической теории к системе аксиом предъявляются следующие требования:

• 
  непротиворечивость;
  
• 
  независимость;
  
• 
  полнота.
  

Определение 4. Система аксиом Σ называется непротиворечивой, если в ее теории нет противоречия, т.е. не содержится утверждения А и его отрицание [12].
Немецкий математик Гѐдель в 20 годы XX века доказал, что нельзя доказать непротиворечивость аксиоматической теории средствами самой теории, а можно доказать только относительную непротиворечивость.
Пусть Σ – некоторая система аксиом (возьмем, например, систему аксиом евклидовой геометрии) и пусть - некоторая непротиворечивая теория (например, теория действительных чисел). Докажем, что система аксиом Σ непротиворечива, если непротиворечива теория (геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика). Каждое утверждение искомой теории будет истинным предположением в теории . Если бы нашлись два отрицающие друг друга утверждения в теории Т, то им бы соответствовали два отрицающие друг друга утверждения и в теории . Но теория по условию непротиворечива. Таким образом, мы построили модель системы аксиом Σ на основе теории , тем самым доказав относительную непротиворечивость системы аксиом Σ.
Таким образом, для доказательства непротиворечивости системы аксиом
нужно построить ее модель. Далее будем предполагать, что рассматриваемые системы аксиом непротиворечивы.
Определение 5. Система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не зависит от остальных аксиом, то есть не может быть доказана как теорема с помощью других аксиом данной системы аксиом[12].
Требование независимости – минимальности списка утверждений, которые принимаются без доказательства, - это естественное требование, предъявляемое к любой аксиоматической теории.
Пусть дана система аксиом Σ и пусть аксиома α этой системы зависит от остальных аксиом, т.е. является теоремой. Рассмотрим систему аксиом , включающую в себя в себя все аксиомы системы Σ, кроме α, а утверждение α заменим ее отрицанием . Система аксиом является противоречивой, т.к. в ее теории содержится два отрицающих друг друга утверждения α и , утверждение как теорема, а как аксиома. Следовательно, аксиома α будет независимой аксиомой тогда и только тогда, когда система аксиом , полученная из Σ заменой α на ее отрицание , непротиворечива. Таким образом, вопрос о независимости сводится к вопросу непротиворечивости.
Определение 6. Система аксиом Σ называется неполной, если существует утверждение α, удовлетворяющее следующим условиям:

• 
  утверждение α не вводит новых отношений;
  
• 
  утверждение α независима от аксиом системы Σ;
  
• 
  система аксиом Σ+α – непротиворечива[6].
  

Если такого утверждения не существует, то система аксиом Σ называется полной. Существуют теории, построенные как на полных, так и на неполных системах аксиом.
Пусть система аксиом Σ – неполная и существует аксиома α, удовлетворяющая указанным выше условиям.
^{По условию система аксиом – непротиворечива, а так как α не} зависит от остальных аксиом , то непротиворечива и система аксиом ^.
Путь - интерпретация , – интерпретация , так как и то являются также интерпретациями системы аксиом . Но в интерпретации выполняется α, а в интерпретации выполняется , следовательно, интерпретации системы аксиом ∑ неизоморфны.
Таким образом, если система аксиом Σ – неполная, то для нее существует неизоморфные интерпретации. Следовательно, чтобы доказать полноту данной системы аксиом, достаточно доказать, что все ее интерпретации изоморфны.
В выпускной квалификационной работе мы исследуем проблему двух классических систем аксиом Александрова и Вейля евклидовой геометрии.