Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

3.2. Gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi.
Gipergeometrik tenglama (yoki Gauss tenglamasi) shakldagi tenglamadir
bu yerda a, b, g haqiqiy sonlar.
Nuqtalar tenglamaning yagona nuqtalaridir. Ularning ikkalasi ham muntazamdir, chunki bu nuqtalar yaqinida Gauss tenglamasining koeffitsientlari normal shaklda yozilgan.
umumlashgan kuch qatori sifatida ifodalanishi mumkin.
Keling, buni nuqta uchun tasdiqlaylik. Darhaqiqat, buni sezish
(3.2) tenglamani quyidagicha yozish mumkin
Bu tenglama tenglamaning maxsus holatidir
va bu erda, x = 0 nuqta Gauss tenglamasining muntazam singulyar nuqtasi bo'lsin.
X = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda Gauss tenglamasining asosiy yechimlar tizimini tuzamiz.
x = 0 nuqtasiga mos keladigan boshqaruvchi tenglama shaklga ega
Uning ildizlari va ularning farqi butun son emas.
Shuning uchun x = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda umumlashtirilgan darajalar qatori ko'rinishidagi asosiy echimlar tizimini qurish mumkin.
birinchisi boshqaruvchi tenglamaning nol ildiziga mos keladi va oddiy darajalar qatoridir, shuning uchun yechim x = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda golomorf bo'ladi. Ikkinchi yechim, albatta, x = 0 nuqtada golomorf emas. Keling, birinchi navbatda boshqaruvchi tenglamaning nol ildiziga mos keladigan ma'lum bir yechimni tuzamiz.
Shunday qilib, (3.2) tenglamaning ma'lum bir yechimini shaklda qidiramiz
(3.3) ni (3.2) ga almashtirib, biz hosil qilamiz
Erkin atamani nolga tenglashtirib, biz olamiz.
Keling, keyin olamiz.
Koeffitsientni nolga tenglashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
Shunday qilib, qidirilayotgan maxsus yechim quyidagi shaklga ega:
O'ngdagi qator gipergeometrik qator deb ataladi, chunki a = 1, b = g uchun u geometrik progressiyaga aylanadi.
Teorema_2 ga binoan (3.4) qator | x | uchun yaqinlashadi<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).
Ikkinchi maxsus yechim:
Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan topish o'rniga, biz Gauss tenglamasida kerakli funktsiyani formula bilan almashtiramiz.
Gauss tenglamasini olamiz
bunda a, b va g parametrlarining rolini va bajaradi.
Shuning uchun, boshqaruvchi tenglamaning nol ildiziga mos keladigan ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimini qurib, uni (3.6) ga almashtirib, biz ushbu Gauss tenglamasining ikkinchi xususiy yechimini quyidagi shaklda olamiz:
(3.2) Gauss tenglamasining umumiy yechimi:
X = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda Gauss tenglamasining qurilgan fundamental yechimlari tizimidan foydalanib, x = 1 yagona nuqtaga yaqin joyda ushbu tenglamaning fundamental yechimlari tizimini osongina qurish mumkin, bu ham muntazamdir. yagona nuqta.
Shu maqsadda bizni qiziqtirgan x = 1 yagona nuqtani t = 0 nuqtaga va u bilan birga x = 0 yagona nuqtani x = 1 - mustaqil o'zgaruvchining chiziqli o'zgarishidan foydalanib, t = 1 nuqtaga o'tkazamiz. t.
Ushbu almashtirishni berilgan Gauss tenglamasida bajarib, biz hosil bo'lamiz
Bu parametrli Gauss tenglamasi. Bu mahallada bor | t |<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений
X o'zgaruvchisiga qaytsak, ya'ni t = 1 - x o'rnatsak, biz nuqta qo'shnisida dastlabki Gauss tenglamasining asosiy yechimlar tizimini olamiz | x - 1 |< 1 особой точки х = 1
Gauss tenglamasining (3.2) sohadagi umumiy yechimi

1.