Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

...

pn

CX tasodifiy miqdorning matematik kutilishi:

Shunday qilib,

Eslatma. Keyingi ossaga o‘tishdan avval quyidagi tushunchani aytib o‘taylik: ikkita tasodifiy miqdordan birining taqsimot qonuni ikkinchisining qanday qiymat qabul qilganligiga bog‘liq bo‘lmasa , bu tasodifiy miqdorlar erkli deyiladi. Agar bir nechta tasodifiy miqdrlardan ixtiyoriy sondagisining taqsimot qonunlari qolganlarining qanday qiymat qabul qilganligiga bog‘liq bo‘lmasa, ular o‘zaro erkli tasodifiy miqdorlar deyiladi.
Eslatma. Erkli X va Y tasodifiy miqdorning ko‘paytmasi deb, shunday XY tasodifiy miqdorga aytamiz, uning mumkin bo‘lgan qiymatlari X ning mumkin bo‘lgan har bir qiymatini Y ning mumkin bo‘lgan har bir qiymatiga ko‘paytirilganiga teng; XY ko‘paytmaning mumkin bo‘lgan qiymatlarining ehtimollari ko‘paytuvchilarning mumkin bo‘lgan qiymatlarining ehtimollari ko‘paytmasiga teng. Masalan, mumkin bo‘lgan x₁ qiymatining ehtimoli p₁ ga, mumkin bo‘lgan y₁ qiymatning ehtimoli g₁ ga teng bo‘lsa, u holda mumkin bo‘lgan x₁y₁ qiymatning ehtimoli p₁g₁ ga teng bo‘ladi.
3- xossa. Ikkita erkli X va Y tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilishlari ko‘paytmasiga teng:


M(XY)=M(X)M(Y).
Isboti. X va Y erkli tasodifiy miqdorlar o‘zlarining taqsimot qonunlari bilan berilgan bo‘lsin:

X	x1	x2
P	p1	p2

Y	y1	y1
P	g1	g2

XY tasodifiy miqdor qabul qilishi mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarni tuzib chiqaylik, buning uchun X ning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarning Y ning mumkin bo‘lgan har bir qiymatiga ko‘paytirib chqamiz: natijada x₁y₁, x₂y₁, x₁y₂ va x₂y₂ ni hosil qilamiz.

XY ko‘paytmaning taqsimot qonunini tuzamiz:

X	x1y1	x1y1	x1y2	x2y2
P	p1g1	p2g1	p1g2	p2g2

Matematik kutilish mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarini ularning ehtimollariga ko‘paytmalarini ularning ehtimollariga kopaytmalari yig‘indisiga teng:

yoki

Shunday qilib,

Natija. Bir necha o‘zaro erkli tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilishlari ko‘paytmasiga teng.
Masalan, uchta tasodifiy miqdor uchun:

Ixtiyoriy sondagi tasodifiy miqdorlar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi.

Misol. Erkli X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlari orqali berilgan:

X	5	2	4
P	0,6	0,1	0,3

X	7	9
P	0,8	0,2

XY tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
Yechish. Berilgan miqdorning har birining matematik kutilishini topamiz:

X va Y tasodifiy miqdorlar erkli bo‘lganligi uchun izlanayotgan matematik kutilish quyidagiga teng:

Eslatma. X va Y tasodifiy miqdorlarning yig‘indisa deb shunday X+Y tasodifiy miqdorga aytiladiki, uning mumkin bo‘lgan qiymatlari X ning mumkin bo‘lgan har bir qiymati bilan Y ning mumkin bo‘lgan har bir qiymati yig‘indilariga teng: X+Y ning mumkin bo‘lgan qiymatlarining ehtimollari erkli X va Y miqdorlar uchun qo‘shiluvchilarninehtimollari ko‘paytmasiga teng; bog‘liq tasodifiy miqdorlar uchun bir qo‘shiluvchining ehtimolini ikkinchisining shartli ehtimoliga ko‘paytmasiga teng
Quyidagi xossa erkli tasodifiy miqdorlar uchun ham, bog‘liq tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinlidir.
4-xossa. Ikkita tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi qo‘shiluvchilarning matematik kutilishlar yig‘indisiga teng:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Y	y1	y2
g	g1	g2

Isboti. X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlaar orqali berilgan bo‘lsin:

X	x1	x2
P	p1	p2

X+Y nng barcha mumkin bo‘lgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X ning mumkin bo‘lgan har bir qiymatiga Y ning mumkin bo‘lgan har bir qiymatini qo‘shamiz: x₁+y₁, x₁+y₂, x₂+y₁ va x₂+y₂ ni hosil qilamiz. Bu qiymatlarning ehtimollarini mos ravishda p₁₁, p₁₂, p₂₁ va p₂₂ orqali belgilaymiz.

X+Y miqdorning matematik kutilishi mumkin bo‘lgan qiymatlarni ularning ehtimollariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:

yoki

p₁₁+p₁₂=p₁ ekanligini isbotlaymiz. X tasodifiy miqdor x₁ qiymatni qabul qilish hodisasi (bu hodisani ehtimoli p₁ ga teng) X+Y tasodifiy miqdor x₁+y₁ yoki x₁+y₂ qiymatni qabul qilish hodisasini (bu hodisaning ehtimoli qo‘shish teoremasiga ko‘ra p₁₁+p₁₂ ga teng) ergashtiradi va aksincha. Bundan p₁₁+p₁₂=p₁ tenglik kelib chiqadi.
Ushbu

Tenglik ham shunga o‘hshash isbotlanadi.

Bu tengliklarning o‘ng tomonlarini formulaga qo‘yib quyidagini hosil qilamiz:
M(X+Y)=(x₁p₁+x₂p₂)+(y₁g₁+y₂g₂)
yoki uzil- kesil
M(X+Y)= M(X)+M(Y).
Natija. Bir necha tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilishi qo‘shiluvchilar matematik kutilishlarining yig‘indisiga tehg.
Masalan, uchta qo‘shiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz.

Ixtiyoriy sondagi qo‘shiluvchilar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi.

Masalan. Nishonga qarata uchta o‘q uzildi. Ularning nishonga tegish ehtimollari: p₁=o,4; p₂=0,3 va p₃=0,6. Nishonga tegish jami sonining matematik kutilishini toping.
Yechish. Birinchi otishda nishonga tegish soni X₁ tasodifiy miqdor bo‘lib, u faqat ikkita qiymat qabul qilishi mumkin: 1 ni (nishonga tekkan) p₁=0,4 ehtimol bilan va 0 ni (nishonga tegmagan holda)
q₁=1-p₁ =0,6 ehtimol bilan.
Birinchi o‘q uzishda nishonga tegish sonining matematik kutilishi nishonga tegish ehtimoliga , ya’ni M(X₁)=0,4 ga teng.
Ikkinchi va uchinchi o‘q uzishda nishonga tegish sonining matematik kutilishlarini shunga o‘hshash topamiz:
M(X₂)=0,3; M(X₃)=0,6.
Nishonga tegishning jami soni ham tasodifiy miqdor bo‘lib, u uchta o‘q uzishning har birida nishonga tegishlar yig‘indisidan iborat:
X=X₁+X₂+X₃.
Izlanayotgan matematik kutilishni yig‘indining matematik kutilishi haqidagi teorema ga asosa topamiz:
M(X)=M(X₁+X₂+X₃)=M(X₁)+M(X₂)+M(X₃)=0,4+0,3+0,6=1,3
(ta nishonga tegish).
Misol. Ikkita o‘yin soqqasi tashlanganda tushish mumkin bo‘lgan ochkolar yig‘indisining matematik kutilishini toping.⁸
Yechish. Birinchi soqqa tushishi mumkin bo‘lgan ochkolar sonini X orqali, ikkinchisinikini Y orqali belgilaymiz. Bu miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari bir xil bo‘lib, ular 1, 2, 3, 4, 5 va 6 ga teng, shu bilan birga bu qiymatlardan har birining ehtimoli ga teng.
Birinchi soqqa tushishi mumkin bo‘lgan ochkolar sonining matematik kutilishini topamiz:

M(Y)=7/2 ekanligi hamvshn.
Izlanayotgan matematik kutilish:
M(X+Y)=M(X)+M(Y)= =7.