Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

Mills formulasi
Legendrening ketma-ket kvadratlar orasida har doim tub borligi haqidagi farazi hal qilinmagan boʻlsa-da, biz bilamizki, har bir ketma-ket kublar juftligi oʻrtasida tub bordir. 1947-yilda, Mills shundan kelib chiqqan holda, doimiysi (hozir Mills doimiysi deb ataladi) mavjudligini xulosa qildi, demak

Buni isbotlash uchun keling tub boʻlsin va u holda quyidagi tengsizlik uchun biror tub sonni tanlaylik,

Agar va boʻlsa, yuqoridagi qatordagi - ildizlarni olib,
.
Shuning uchun ortib borayotgan chegaralangan ketma-ketlikdir, demak, limitga intilishi kerak. U holda hamma uchun va shuning uchun . Biz yuqori chegarada tenglikka ega boʻla olmaymiz.
yoki aks holda butun son, shuning uchun barcha uchun butun son, barcha uchun ekanligini nazarda tutib, va ayniqsa

demak tub emas. Shuning uchun hamma uchun va demak, da’vo qilinganidek, ga teng.


2.3-§. Bertrand postulati.

Ushbu Teorema Bertrand tomonidan aytilgan boʻlib, uni birinchi boʻlib Chebishev isbotlagan.

2.4-teorema. (Bertrand postuloti). Agar butun musbat son boʻlsa, u holda shartni qanoatlantiruvchi tub son mavjud.
Bu teoremaning Chebishev Isboti 3-Teorema isbotiga oʻxshash boʻlib, ning katta qiymatlari uchun teorema umumiy holda isbotlanib qolgan qiymatlari uchun tub sonlar jadvali yordamida tekshirib koʻriladi. Bu yerda S.S.Pillai isbotini keltiramiz, u nisbatan sodda va tekshirishlar soni kam, chunki u yerda uchun Stirling formulasida foydalanilmaydi.
Chebishev teoremasini isbotlashda biz uchun
(2.3)
tengsizlikdan foydalanib tengsizlikni keltirib chiqargan edik. Bu tengsizlikning faqat 2 ning darajalari uchun bajarilib qolmasdan barcha p-butun musbat sonlar uchun bajarilishini ya’ni
(2.4)
ni koʻrsatish uchun (2.4) ga qaraganda aniqroq boʻlgan
(2.5)
tengsizlik kerak boʻladi.
Avvalo (2.5) ni isbotlaylik.
boʻlsin.

boʻlgani uchun

Endi ushbu tengsizlikni qaraylik:

Buni quyidagicha yozib olamiz.

yoki

demak,
Endi (2.5) ning chap tomonini isbotlash uchun ushbu tengsizlikni qaraymiz:

Buni

deb yoza olamiz. Demak

(2.5) munosabat toʻla isbot boʻldi.
Endi (2.4) ni isbotlaymiz. (2.4) ni va da bevosita tekshirib koʻrish mumkin. Biz (2.4) ni biror qiymati uchun oʻrinli deb qarab, undan
ni keltirib chiqaramiz.
Ushbu butun sonni qaraymiz:

Bu son shartni qanoatlantiruvchi barcha -tub sonlarga boʻlinadi va shuning uchun ham ularning koʻpaytmasiga ham boʻlinadi. Demak,
.
Lekin (2.5) dan . Keyingi 2 ta tengsizlikdan
.
Induktivlik farazamizga koʻra .
Shuning uchun ham

Teorema isbot boʻldi.