Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

2.2-teorema. Agar darajali boʻlsa va butun sonlar uchun tub boʻlsa, u holda koʻpaytuvchiga ajralmaydi.
Isboti. Faraz qilaylik, koʻpaytuvchiga ajraladigan boʻlsin; ya’ni koʻphadlari uchun . Agar tub boʻlsa, u holda boʻladi. Shuning uchun dan biri yoki ga, ikkinchisi yoki ga teng. Xususan darajali koʻphad , ning ildizidir. Bu 2.2-lemma ga koʻra, dan ortiq ildizga ega emas va shuning uchun dan ortiq boʻlmagan butun sonlar uchun tub boʻlishi mumkin.
Kamida ta tub qiymatlarni qabul qiladigan uchun yetarlicha katta darajali koʻpaytuvchilarga ajraluvchi koʻphadlar mavjudligini koʻrsatish mumkin: keling turli tub sonlar boʻlsin. Aytaylik, va boʻlsin. Dirixle teoremasiga ([7], (5.3)) koʻra, biz ([7], 7.8 teorema) cheksiz koʻp tub sonlar mavjudligini bilamiz. Shunday tub sonlardan birini tanlaymiz va biror musbat butun son uchun ni yozamiz. Endi
darajali boʻlsin. Bizda va bor, shuning uchun tub boʻlib butun sonlar mavjud.


Tub sonlar va tub formulalarni qidirish

2.2-tasdiq faqat tub qiymatlarni qabul qiladigan (doimiy boʻlmagan) koʻphad yoʻqligini isbotlaydi. Ammo, ehtimol, faqat tub sonlarni beradigan oddiy koʻphadlardan koʻra koʻproq ajoyib formula bormi? Ilgari biz Ferma sonlari, haqida gapirgan edik, Ferma xato qilib, hammasini tub deb hisoblagan edi, lekin ehtimol boshqa formula bordir? Quyidagi faktdan qiziq bir ehtimollik,

hammasi tub boʻlishligi kelib chiqadi. Ushbu ketma-ketlikdagi har bir had tub boʻlishi mumkinmi? Hech kim bilmaydi va keyingi misol shunchalik kattaki, hech kim yaqin kelajakda uning tub ekanligini yoki yoʻqligini aniqlay olmadi.
Bir oz tasavvur bilan barcha tub sonlarni osongina beradigan formulalarni ishlab chiqish unchalik qiyin emas. Masalan, tub sonlar ketma-ketligi boʻlsa, u holda quyidagini aniqlaymiz:

raqamning chap tomoniga bir necha raqamlardan keladigan tub sonlar, ning oʻnli kengayishidan tub sonlarni koʻrsatish mumkin yoki rasmiy ravishda,

haqiqatdan ham qiziqmi? Agar biz bergan ta’rifdan tashqari ni osongina tasvirlash mumkin boʻlsa, u tub sonlarni aniqlashning oson yoʻlini ta’minlaydi. Ammo sun’iy ta’rifi bilan uni hech qanday amaliy tarzda qoʻllash mumkin emasdek tuyuladi. Boshqa shunga oʻxshash konstruktsiyalar mavjud.
Matijasevich Gilbertning oʻninchi muammosi ustida ishlayotganda juda boshqacha tarzda, har bir oʻzgaruvchi manfiy boʻlmagan butun son boʻlganda boʻyicha qabul qilingan musbat qiymatlar toʻplami aniq tub sonlar toʻplami boʻladigan koʻp oʻzgaruvchili koʻphadlari mavjudligini aniqladi [12]. Tub sonlar uchun juda koʻp turli xil koʻphadlarni topish mumkin; 21-darajali 26 ta oʻzgaruvchiga ega boʻlgan birini beramiz. (Oʻzgaruvchilar juda koʻp boʻlishi evaziga darajani 5 ga qisqartirish mumkin. Hech kim mumkin boʻlgan minimal darajani ham, minimal mumkin boʻlgan oʻzgaruvchilar sonini ham bilmaydi): Bizning koʻphad karrali
1 − − −
−
Bunga bir muddat diqqat qiling va uning qanday ishlashini aniqlashga harakat qiling: Asosiysi, koʻrsatilgan koʻphad qachon musbat qiymatlarni olishini aniqlashdir. E’tibor bering, u 1 minus kvadratlar yigʻindisiga teng, shuning uchun agar koʻphad da musbat boʻlsa, u holda ikkinchi boʻluvchi 1 ga teng boʻlishi kerak va shuning uchun kvadratlarning har biri 0 ga teng boʻlishi kerak, demak,

Bundan tashqari koʻp narsani tushunish qiyin boʻlib tuyuladi va bu koʻphadni tushunishning yagona yoʻli uning hosilasini tushunishdir [12]. Hozirgi bilim darajasida bu gʻayrioddiy va goʻzal koʻphad tub sonlarning taqsimlanishini yaxshiroq tushunishga yordam berishda mutlaqo foydasizga oʻxshaydi!
Butun sonli koordinatali cheksiz koʻp nuqtalarga toʻgʻri keladigan chiziq koʻrinishida boʻladi, boʻlgan butun sonlar. oʻzgaruvchi boʻlib, barcha yechimlar koʻrinishni oladi ([7], 3.5 teorema). Oʻng kvadrantdagi (toʻrtdan bir qism) chiziq uchun, , shuning uchun quyidagi koʻphadning tub qiymatlarini qidiramiz

bu yerda diskriminantga ega boʻlib, , , lar oʻrinli. Shuning uchun biz koʻp tub qiymatlarga ega kvadratik koʻphadni qidiramiz.
Biz oldinroq diagonaldagi misollarni topgan edik, demak, . boʻlgani uchun biz va ni olishimiz mumkin, shunda boʻladi. koʻphadi toq qiymatlarni olishi uchun bizga toq, shuning uchun juft boʻlishi kerak va shuning uchun koʻphad quyidagicha boʻladi: