Raqamli iqtisodiyot va axborot texnologiyalari”

z2,(n; k) topiladi. Agarda z2q < z2, bo’1sa, bosh to’plamning normal taqsimlanganligi haqidagi gipotezani rad etishga asos yo’q.

Boshqacha aytganda, empirik va nazariy chastotalar farqi muhim emas (tasodifiy).

Agar zçp > zç, bo’lsa, nolinchi gipoteza rad qilinadi. Boshqacha aytganda, empirik va nazariy chastotalar farqi muhim.

Katta sonlar qonuni.
Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifodalovchiteoremalarkattasonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.

Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’1gan Markov tengsizligini isbotlaymiz

Markov tengsizligi .Agar e tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi mavjud bo’1sa, ixtiyoriy c > 0 va r > 0 uchun

(1)

o’rinli bo’ladi.

^{Isbot: 1) Faraz qilaylik e diskret tasodifiy miqdor bo’1sin. Ya’ni e tasodifiy miqdor x}₁^{, x}2^{, ... , x}_n^{, ... qiymatlarni p}₁^{, p}2^{, ... , pq, ... ehtimolliklar bilan qabul qilsin (Şq_}₁ ^{Pg —— 1).}

U holda
1

— 3f |e

2. Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor !* zichlik funksiyasiga ega bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’Isin.

U holda
|x| p(x)dx + |x| p(x)dx û
n - I }lx| ’ p(x)dx + —, l't|x| ’p(x)dx + J,'”|xl ’ p(x)dx = - u |cl ’.

1. tengsizlik isbotlandi.

(|e| e) va (|e | ² e² )hodisalar tengkuchli bo’1ganligi uchunularning ehtimolliklari teng bo’ladi, va

ile'

- ¿2
e ni e— ile bilan almashtiramiz, u holda

P{|e — Me | > e}

Demak,
P\ |e — Me | 1 c) û ₂ (2)

Bu tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi. Agar (2) ga e

= 3tr, deb olsak, u holda

De 1

bo’ladi.

Agar e normal taqsimotga ega bo’1sa, u holda

P ț z— Mz N 3 tr) N 0. 0027

Bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin. Bunga 3 tr - qoidasi deb ham ataladi.

Natija: Agar e tasodif miqdorining dispyerstiyasi Demavjud bo’1sa, ixtiyoriy e > 0 uchun.

P\|e — Me| < e} > 1—

(3)ga ham Chebishev tengsizligi deyiladi.

Isboti:

(3)

(|e —Me| < e} va {|e — Me| ñ e) o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lganliklari uchun

P ț z— Mz < ø) + P ț z — Mz 1
IV

va (2) ga asosan

Bizga _{• •} .. eg tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’1sin, uq =

—— /q (e ₁ , e ₂ ... eg) ketma-ketlikni tuzib olamiz. Tafsif: (rig) sonlar ketma-ketligi mavjud bo’lib,

< e) = 1

o’rinli bo’Isa, (cq} tasodifiy miqdorlari ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo’ysunadi deyiladi. Amaliyotda ko’p hollarda

deb olinadi.

ą',ⁱⁱ ’'°', Mz;

i=l i=l