Reja: 1 Darajali qatorlar haqida ma’lumotlar

Koshi teoremasi
1.1.2-teorema funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun son olinganda ham shunday topilib, va da
,
ya’ni
va da
(1.1.2)
bo’lishi zarur va yetarli.
Zarurligi. Aytaylik, to’plamda funksional ketma-ketlik limit funksiya ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin:

tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra
bo’ladi. Xususan, va da

tengsizliklar bajarilib, ulardan


bo’lishi kelib chiqadi. Demak, (1.1.2) shart o’rinli.
Yetarliligi. funksional ketma-ketlik uchun (1.1.2) shart bajarilsin. Uni
da
(1.1.3)
bo’ladi.
Ravshanki, tayin da sonlar ketma-ketligi uchun (1.1.3) shartning bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoaemasiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli
(1.1.4)
limit mavjud.
Modomiki, har bir da (1.1.4) limit mavjud bo’lar ekan, unda avval aytganimizdek, to’plamda aniqlangan

funksiya hosil bo’ladi. Uni bilan belgilaymiz. Bu funksiya funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi bo’ladi:
.
Endi (1.1.3) tengsizlikda, va larni tayinlab da limitga o’tamiz. Natijada

hosil bo’ladi. Bu

bo’lishini bildiradi.
1.1.4-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlik to’plamda tekis yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Agar ixtiyoriy uchun

deyilsa,

bo’ladi. Demak,
.
Bu esa yuqoridagi teoremaning shartini bajarilmasligini ko’rsatadi. Demak, berilgan funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi emas.
Aytaylik, funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, funksiya uning limit funksiyasi bo’lsin:
.
Agar

bo’lsa, funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga notekis yaqinlashadi deyiladi.
Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlikning xossalari.
Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketliklar qator xossalarga ega. Bu xossalarni keltiramiz.
Aytaylik. :

funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin:
.
1.1.1-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi to’plamda uzluksiz bo’lib,

bo’lsa, limit funksiya shu to’plamda uzluksiz bo’ladi.
Demak, bu holda

munosabat o’rinli bo’ladi.
1.1.2-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi da uzluksiz bo’lib,

bo’lsa,

bo’ladi.
Demak, bu holda

munosabat o’rinli bo’ladi.
1.1.3-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi da uzluksiz hosilalarga ega bo’lib,

bo’lsa,

bo’ladi.
Shu kabi xossalarga keyinroq o’rganiladigan tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar ham ega bo’ladi. Ayni paytda, ular bir mulohaza asosida isbotlanadi Mazkur xossalarning isbotini funksional qatorlarga nisbatan keltiramiz.