Rеja: Birinchi tartibli chiziqlar Ikki tug`ri chiziq orasidagi burchak

2.Giperbola. Kanonik tenglamasi
 (3)
bo’lgan ikkinchi tartibli egri chiziq giperbola deb ataladi.
Giperbolaning shakli va xossalarini uning tenglamasi yordamida tekshira-miz.
Simmetriya. 3-tenglamaga koordinatalarning faqat kvadratlari kiradi, demak, giperbola koordinata o’qlariga va koordinata boshiga nisbatan simmetrik chiziqdir. Koordinata o’qlari uning simmetriya o’qlari, koordinatalar boshi esa simmetriya markazi bo’ladi.
Koordinata o’qlari bilan kesishishi. Agar  bo’lsa 3-tenglamadan  bo’lishi kelib chiqadi. buning bo’lishi mumkin emas. Shu sababli giperbola ordinatalar o’qini kesmaydi.    va  nuqtalar mavxum uchlar, kesma mavxum o’q deb ataladi. Agar bo’lsa, u holda 3-tenglamada yoki  bo’lishi kelib chiqadi. Shu sababli giperbola  abssissalar o’qini  nuqtalarda kesib o’tadi. Bu nuqtalar giperbolaning haqiqiy uchlari deb ataladi.  giperbolaning haqiqiy o’qi , lar esa haqiqiy va mavxum yarim o’qlari deyiladi.
Koordinatalarning o’zgarish sohasi . 3-tenglamadan bo’lishi ko’rinib turibdi, bundan yoki va bo’lishi kelib chiqadi. (3) tenglamadan ni hosil qilamiz, bundan koordinata dan  gacha ortganda koordinata dan gacha o’zgarishi ,
koordinata  kamayganda koordinata dan gacha o’zgarishi kelib chiqadi. 
Demak, giperbola chegaralanmagan chiziq bo’lib,   to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohadan tashqarida joylashgan va ikkita tarmoqqa ega.
Fokuslar. Giperbolaning haqiqiy o’qida fokuslar deb ataladigan ikkita nuqta 
 mavjud bo’lib, ular uchun ushbu xossa o’rinli: giperbolaning istalgan nuqtasidan fokuslargacha bo’lgan masofalar ayirmasi o’zgarmas kattalik bo’lib musbat yoki manfiy ishora bilan olingan fokal o’q uzunligi ga teng.
Haqiqatdan ham.  giperbolaga tegishli bo’lsin, u holda

Yoki
,

_,
bundan


yoki 
 (4)
4- va 3- taqqoslasak, degan xulosaga kelamiz yoki Xossaning to’g’riligi isbotlandi.
Fokuslar orasidagi masofa ellipsdagi kabi giperbolaning fokus masofasi deb ataladi:  bu yerda Ravshanki,  shu sababli fokuslar haqiqiy o’qdan tashqarida joylashgan. Bu o’q fokal o’q deb ham ataladi.
kattaliklar fokal radiuslar deb ataladi, hamda bilan belgi-lanadi.
Shunday qilib, giperbolaga quidagicha geometrik ta’rif berishimiz mumkin: giperbola deb tekslikdagi shunday nuqtalarning to’plamiga aytiladiki, bu nuqta-larning xar biridan shu tekislikning fokuslar deb ataluvchi ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar ayrmalarining absalyut qiymatlari o’zgarmas miqdordir.