Rеja: Birinchi tartibli chiziqlar Ikki tug`ri chiziq orasidagi burchak

0

Y

x

c

X

Y

-a

b

a

-C

-b

M

42-shakl.
Asimptotalar.  va to’g’ri chiziqlar giperbolaning asimpto-talari deb ataladi. Ular ushbu xossaga ega: giperbolaning ixtiyoriy  nuqta-sidan unga yaqin asimptotagacha bo’lgan masofa  nuqta giperbola bo’ylab ko’chib, cheksiz uzoqlashganida nolga intiladi.
Ekssentristet va direktrisalar . kattalik ellipsdagi kabi giperbolaning ekssentrisiteti deb ataladi. bo’lgani uchun va to’g’ri chiziqlar direktrisalar deb ataladi. Giperbola uchun u holda (I va IV choraklarda) va  ( II III choraklarda), yani giperbolaning direktrisalari uning uchlari orasida joylashgan to’g’ri chiziqlardir. Ellipsdagi kabi ushbu xossa bu erda ham o’rinli : giperbolaning istalgan nuqtasidan fokusgacha bo’lgan masofa bilan mos drektrisagcha bo’lgan masofalar nisbati o’zgarmas kattalik bo’lib, ekssentrisitetga teng, yani

bu yerda -giperbolaning  nuqtasidan direktrisalargacha bo’lgan masofalar.
2-misol. Giperbolaning asimptotalari tenglamalari  va hamda fokuslari orasidagi masofa bo’lsa,uning kanonik tenglamasini tuzing .
Yechish. Giperbolaning kanonik tenglamasi endi.  va  ning qiymatlarini topamiz. Masala shartidan demak, ,bundan tashqari, demak, bo’lgani uchun bu tenglikka va ni qo’yib quyidagini olamiz:
,
bundan Endi ni ham aniqlash mumkin :
yoki.
Shunday qilib, giperbolaning izlanayotgan kanonik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

3. Parabola. Qanonik tenglamasi
(5)
ko‘rinishda bo‘lgan ikkinchi tartibli egri chiziq parabola deb ataladi. Bu tenglamadan x koordinata bilan r parametrning ishoralari bir xil bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi. Aniqlik uchun r>0 deymiz.
Simmetriya. (5) tenglamadan ko‘rinadiki, x ning mumkin bo‘lgan har bir qiymatiga u ning ishora bo‘yicha qarama-karshi ikkita qiymati mos keladi, chunki . SHu sababli Ox o‘qi parabolaning simmetriya o‘qi deb ataladi. (43-shakl).
Koordinata o‘qlari bilan kesishishi. Agar x=0 bo‘lsa, u holda (5) tenglamadan y=0 bo‘lishi kelib chiqadi. SHu sababli parabola Oy o‘qini parabolaning uchi deb ataladigan O(0;0) nuqtada kesadi. SHunday qilib, parabola koordinatalar boshidan o‘tadi.Koordinatalarning o‘zgarish sohasi. Parabola tenglamasidan ko‘rinadiki, x koordinata 0 dan + gacha o‘zgarganda (r>0 bo‘lgan holda) u koordinata 0 dan ± gacha o‘zgaradi, Demak, parabola chegaralanmagan chiziq.
Parabolaning fokusi, direktrisasi va ekssentrisiteti. Simmetriya o‘qida (Ox o‘qida) joylashgan nuqta parabolaning fokusi deb, to‘g‘ri chiziq esa uning direktrisasi deb ataladi va ular ushbu xossa bilan bog‘langan: parabolaning istalgan nuqtasidan fokusgacha va direktrisagacha bo‘lgan masofalar o‘zaro teng. Hakiqatan, M (x;u) nuqta parabolaga, nuqta direktrisaga tegishli bo‘lsin, u holda

Yoki
bu yerdan _.
SHunday qilib, xossaning to‘g‘riligi isbotlandi.
Demak, parabolaga kuyidagicha geometrik ta’rif berishimiz mumkin: parabola deb tekislikning fokus deb ataluvchi berilgan G‘ nuqtasidan va direktrisa deb ataluvchi berilgan to‘g‘ri chiziqdan teng uzoqlikda joylashgan barcha iuqtalari to‘plamiga aytiladi.
masofa fokus masofa. Ox simmetriya o‘qi fokal o‘q deb ataladi. \MG‘\ kattalik fokal radius deb ataladi va bilan belgilanadi, M nuqtadan direktrisagacha bo‘lgan masofani d orqali belgilasak, ya’ni u holda isbotlangan xossani bunday yozish mumkin:

Ellips va giperbolaning xsssalarini yodga olsak, parabolaning ekssentrisiteti birga teng deb hisoblash mumkin, ya’ni . Parabola asimptotalarga ega emas.
Izoh. Agar parabolaning fokal o‘qi Ou o‘qi sifatida olinsa, parabola tenglamasi ushbu ko‘rinishni oladi: x²=2py.
3-misol. Parabolaning y²=4x kanonik tenglamasi berilgan. Direktrisa tenglamasini tuzing va fokusning koordinatalarink toping.
Yechish. y²=2px kanonik tenglama bilan taqqoslasak, 2p=4 degan xulosaga kelamiz, ya’ni p=2. Parabola direktrisasi ko‘rinishda, fokus koordinatalari bo‘lgani uchun direktrisa tenglamasi va fokus G‘(1; 0) bo‘ladi.