Rеja: Birinchi tartibli chiziqlar Ikki tug`ri chiziq orasidagi burchak

Ellips , giperbola va parabolaning geometrik xossalarini tekshirish
Ellips , giperbola va parabolaning ko’rinishini va xossalarini tegishli egri chiziqning kanonik tenglamasiga asoslanib tekshiramiz .

1. 
   Ellips. Oldingi paragrfda aytilganidek ellips kanonik tenglamasi
   

 ₍₁₎
ko’rinishda bo’lgan ikkinchi tartibli egri chiziqdir .
Simmetriya (1) tenglama koordinatalarining faqat kvadratlarini o’z ichiga oladi ,
shu sababli ellipsga  nuqta mos kelsa,u holda unga  ham tegishli bo’ladi .Demak , ellips koordinata o’qlariga va koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik.Koordinatalar boshi ellipsning simmetriya markazi ,koordi-nata o’qlariga esa uning simmetriya o’qlari deb ataladi .
Koordinata o’qlari bilan kesishishi . Agar  bolsa , u holda ) tengla-madan  yoki bo’lishi kelib chiqadi . Bu esa ellips ordinatalar o’qini  va  nuqtalarda kesib o’tishini bildiradi .
Agar   bo’lsa , u holda tenglamadan  yoki  bo’lishi kelib chiqadi . Bu esa ellips absisassalar o’qini  va  nuqtalarda kesib o’tishini bildiradi .
Chiziqning simmetriya o’qlari bilan kesishish nuqtalarini chiziqning uchlari deb ataymiz. Ellipsning uchlari orasidagi masofalar  uning o’qlari deb ataladi. O’qlaridan kattasi katta o’q , ikkinchisi esa kichik o’q deb ataladi .  lar yarm o’qlar deyiladi.
Koordinatalarning o’zgarish sohasi . Ellipsning tenglamasidan ko’rinib turib-diki

Bundan koordinatalarning o’zgarish sohasi kelib chiqadi :

Ellipsning simmetrikligiga asosan uni faqat birinchi chorakda tekshirish yetarli . Birinchi chorakda ellips tenglamasini  ko’rinishda yozish mumkin. Bundan koordinata dan gacha ortsa, koordinata  dan gacha kamayadi . Demak , ellips chegaralangan chiziq , u markazi koordinatalar boshi-da hamda tomonlari  va bo’lgan to’g’ri to’rtburchak ichida joylashgan .
Fokuslar. Faraz qilaylik  bo’lsin . Ellipsning katta o’qida fokuslar deb atala-digan   nuqtalar mavjud bo’lib , ular ushbu xossaga ega: Ellipsning istalgan  nuqtasidan    fokuslargacha bo’lgan