Rеja: Birinchi tartibli chiziqlar

To’g’ri chiziqlar vektor va kanonik tenglamasi .
Tekislik va fazodagi to’g’ri chiziqning umumiy teninglamalari masalalar yechish uchun har doim ha qulay bo’lavermaydi, shu sababli ko’pincha to’g’ri chiziq tenglamalarning maxsus ko’rinishidan foydalaniladi. Gap shundaki, to’g’ri chiziqning vaziyati biror tayinlangan M₀ nuqtasining va bu to’g’ri chiziqqa parallel yoki unda yotadigan yo’naltiruvchi vektorning berilishi bilan to’liq aniqlanadi.
L to’g’ri chiziq M₀(x₀ ;y₀;z₀) nuqta va yo’naltiruvchi vektor bilan berilgan bo’lsin. L to’g’ri chiziqda ixtiyoriy M(x;y;z) nuqta olamiz (36-shakl).
Shakldan bevosita
(1)
ni hosil qilamiz. M₀ va M nuqtalarning radius-vektorlarini mos ravishda = bilan belgilaymiz. vektor to’g’ri chiziqda yotadi,shu sababli u yo’naltiruvchi vektorga kollinear va demak ,
=t (2)
tenglik to’g’ri, bu yerda t-parametr deb ataladigan
36-shakl
Skalyar ko’paytuvchi, u M nuqtaning to’g’ri chiziqdagi vaziyatigaqarab, istalgan qiymat qabul qilishi mumkin.
(2) fo’rmulani va kiritilgan belgilarni hisobga olib, (1) tenglamaniushbu ko’rinishda yozamiz :
(3)
(3) tenglama cning vector tenglamasi deb ataladi. U t parametrning har bir qiymatiga to’g’ri chiziqda yotadigan ixtiyoriy M nuqtaning radius-vektorini mos qo’yadi. (3) tenglamani koordinata shaklida yozamiz:
=
= (4)
=
larni e’tiborga olsak ,

ni hosil qilamiz . Bu tenglamalar to’g’ri chiziqning parametrrik tenglamalari deb ataladi. t parametr o’zgarganda x,y,z koordinatalar o’zgaradi va M nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab ko’chadi. vector vektorga kollinear bo’lganligi uchun bu vektorlarning proeksiyalari proporsional. So’ngra
=
=
Bo’lgani uchun
(5)

ni hosil qilamiz. Bu tenglama to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi deb ataladi. To’g’ri chiziqning tekislikdagi vektor tenglamasi (3) fazodagi kabi bo’ladi, lekin vekor tenglamalardan parametrik tenglamalarga o’tishda u uchta emas, balki ushbu ikkita skalyar tenglamaga keltiriladi (37-shakl).

37-shakl

(6)
Chunki, bu holda va nuqtalar faqat ikkitadan ( ) va (x;y) koordinataga ega, yo’naltiruvchi vektor ham ikkita koordinataga ega. (6) tenglamalardan t parametr chiqarilsa, tekislikdagi to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasiga o’tish oson bo’ladi:
(7)
1-misol. (1;2;-3) va (-2;1;3) nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing.
Yechish: yo’naltiruvchi vektor sifatida vektorni olamiz.(5)
Formuladagi berilgan nuqta sifatida yoki nuqtalardan istalganini olish mumkin. Natijada to’g’ri chiziqning ushbu kanonik tenglamasini hosil qilamiz:

2-misol. Ushbu
(8)
t o’g’ri chiziqning
2x+3y+z-1=0 (9) tekislik bilan kesishish nuqtasini toping.
Yechish. Bu nuqtalarni topish uchun (8) va (9) tenglamalarni birgalikda yechish kerak.Eng osoni beilgan (8) to’g’ri chiziq tenglamasini quyidagicha parametrik shaklda yozib olishdir: 38-shakl.
x = t + 1, y=-2t-1, z=6t (10)
Bu ifodani tekislikning (9) tenglamasiga qo’yamiz :
2 (t + 1) + 3(-2t - 1) + 6t – 1 = 0.
Bundan t = 1 . To’g’ri chiziqning (10) parametrik tenglamalariga parametr t = 1
qiymatini qo’yib, x = 2 , y = -3, z = 6 ni olamiz. Demak, to’g’ri chiziq va tekislik
M(2;-3;6) nuqtada kesishadi.