Reja: Chiziqli algebraik

3.5.-teorema. (1)-tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun A
matrisaning rangi nomahlumlar soni (n) dan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir: .


3.6.-natija. Agar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining tenglamalari soni m nomahlumlar sonin dan kichik bo’lsa, u holda sistema nolmas yechimga ega bo’ladi. Haqiqatdan ham, .


3.7.-misol: Ushbu

sistema birgalikdami?

Echish: Ushbu

matrisaning rangi 3 dan ortiq bo’lishi mumkin emas. Uni elementar

almashtirishlar yordamida topamiz.

.

Hosil bo’lgan ekvivalent matrisaning rangi , chunki

.


Demak, A matrisaning rangi ham 3 ga teng: . Kengaytirilgan matrisaning rangini hisoblaymiz:
Elementar almashtirishlar bajaramiz:






Ekvivalent matrisa rangga ega, chunki
.
V matrittsaning rangi 4 ga teng: .Matrisalarning ranglari har xil, demek, sistema birgalikda emas. Sistema yechimga ega emas.


3.8.-misol: Ushbu

sistema birgalikdami?
Echish: Ushbu matrisaning rangini hisoblaymiz:






,chunki . Kengaytirilgan V maritsanining rangini

hisoblaymiz:

, chunki . Sistema birgalikda, chunki .Rang

nomahlumlar sonidan kichik bhlgani uchun sistema cheksiz khp echimga ega. Bu yechimlarni topamiz. Uchinchi tenglama birinchi va ikkinchi tenglamaning chiziqli kombinatsiyasi bo’lganligi uchun uni tashlab yuborish mumkin.

.


va nomahlumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan. Bu nomahlumlarni tenglikning chap qismida qoldirib, qolgan qo’shiluvchilarni tenglikdan o’ng tomonga o’tkazamiz:

va “ozod nomahlum”larga ixtiyoriy qiymatlarni, masalan, , qiymatlarni beramiz. Sistema ushbu ko’rinishni oladi.
Bu sistemani yechib, , ni topamiz. Berilgan sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Ularni va “ozod nomahlum”larga ixtiyoriy qiymatlar berish yo’li bilan aniqlaymiz. Umumiy ko’rinishda bu bunday yoziladi: