Reja: Chiziqli algebraik

Mahsulot turlari bo’yicha xom-ashyo sarflari
Xom-ashyo zahirasi
	1	2	3
1	5	12	7	2000
2	10	6	8	1660
3	9	11	4	2070

Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo’yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang.

Echish: Ishlab chiqarilishi kerak bo’lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x₁ , x₂ , x₃ lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik bo’lganligi uchun 5 x₁ 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo
sarflari mos ravishda 12 x₂ , 7 x₃ bo’lib, uning uchun quyidagi tenglama o’rinli bo’ladi: 5 x₁+
12 x₂ + 7 x₃ =2000. Yuqoridagiga o’xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun

10x₁
9x₁
6x₂ 11x₂
8x₃ 4x₃

1660 ,

2070

tenglamalar hosil bo’ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch nomag’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

5 x₁+ 12 x₂ + 7 x₃ =2000 ,

5x1	12x2	7x3	2000,
10x1	6x2	8x3	1660,
9x1	11x2	4x3	2070

9x₁
11x₂
4x₃
2070.

Bu masalaning matematik modeli uch nomahlumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni umumiy holda qaraymiz.

2. 
   CHiziqli tenglamalar sistemasini matrittsalar yordamida yechish endi matrittsalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o’tamiz.
   

^a11 ^x1 ^a21 ^x1
^a12 ^x2 ^a22 ^x2
… a_1n x_n b₁
… a_2n x_n b₂
(7)

………………………………

^an1 ^x1
^an2 ^x2
… a_nn x_n b_n

n nomahlumli, n ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
b₁
A B ^b2

…

b_n
belgilashlarni kiritamiz. Endi (7) sistemani matrittsalarni ko’paytirish qoidasidan foydalanib,

AX B

(8)

ko’rinishda yozish mumkin.
det A 0
bo’lsa, teskari matrittsa ^A mavjud

^va A
¹AX
A ¹B ^{hosil bo’ladi. SHunday qilib, nomahlum X matrittsa}
A ¹B

matrittsaga

teng bo’ladi, yahni
^X = A ¹B .
Bu (7) tenglamalar sistemasini yechishning matrittsaviy yozuvini bildiradi.

1-misol. matrittsalar yordamida ushbu tenglamalar sistemasini yeching:

x₁ x₂
x₁ 2x₂
x₁ 3x₂
x₃ 4,
4x₃ 4,
.
9x₃ 2

Echish. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

	1	1	1			x1			4
A	1	2	4	;	X	x2	;	B	4 .
	1	3	9			x3			2

Bu matrittsalar yordamida berilgan tenglamalar sistemasini

AX B

(9)

ko’rinishda yozamiz. Endi A matrittsaning determinantini hisoblaymiz.

1 1 1

1 2 4

1 3 9

1 2 9

1 4 1

1 3 1

1 2 1

1 1 9

1 4 3 2 .

A matrittsaning determinanti 0 dan farqli bo’lganligi uchun, unga teskari yagona ^A matrittsa

mavjud va tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Endi

^A teskari matrittsani

topish uchun determinant elementlarining hamma algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz:

^A11


A

2 4 ₁₈

3 9

1 1

12 6,

6, A
^A12

1 4

4

9

8, A
5, A₁₃

1

1 2 ₁

1 3

21 _{3 9} 22
A ^{1 1} 2, A
_{1 9} 23

¹ 3, A

3

1 1 _1.

31 _{2 4}
32 ₄
33 _{1 2}

Teskari
^A matrittsani topish formulasiga asosan,

6 6 2

A ¹ 5 8 3

² 1 2 1

3

2,5

0,5
3 1

4 1,5

0,5

(9) tenglikning ikki tomonini chapdan
A ga ko’paytirsak,
A ¹AX
A ¹B
yoki

^{X A 1B} bo’lib, yahni

3

X 2,5

3 1 4

4 1,5 4

3 4 (

2,5 4

3) 4

4 4
1 2

( 1,5) 2

0,5

0,5 2

0,5 4

1 4 0,5 2

Tenglik hosil bo’ladi.

x₁

SHunday qilib, X x₂
x₃
yoki х₁
2 , х₂
3 , х₃ 1.

(Topilgan yechimlarni tenglamalar sistemasiga bevosita qo’yib, yechimning to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin).
3 .Kroneker-Kapelli teoremasi.Ushbu

^a11 ^x1 ^a21 ^x1
^a12 ^x2 ^a22 ^x2
… a_1n x_n b₁
… a_2n x_n b₂


(1)

………………………………

^am1 ^x1
^am2 ^x2
… a_mn x_n b_m

umumiy ko’rinishdagi,yag’ni n ta nomag’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
Berilgan sistema nomahlumlari koeffitsientlaridan A matrittsani hamda bu matrittsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matrittsani tuzamiz, yahni bular ushbu ko’rinishshda bo’ladi.

1. 
   va B
   

А matrittsaga (1) sistemaning matrittsasi, B matrittsaga sistemaning kengaytirilgan matrittsasi deyiladi. Quyidagi teorema o’rinli.
1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). CHiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lishi uchun sistema matrittsasi ^А ning rangi sistema kengaytirilgan ^B matrittsasining rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo’lsin.
k₁, k₂ ,…, k_s uning yechimlaridan biri

bo’lsin. Bu sonlarni sistemadagi nomahlumlar o’rniga qo’yib, s ta ayniyat hosil qilamiz.Bu ayniyatlar B matrittsaning oxirgi ustuni qolgan barcha ustunlarining mos ravishda koeffitsietlar bilan ko’paytmasidan olingan yig’indisi ekanligini ko’rsatadi. B matrittsaning har qanday boshqa ustuni A matrittsaga ham kiradi va shuning uchun u matrittsaning barcha ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Aksincha, A matrittsaning har qanday ustuni B matrittsani ham ustuni bo’ladi, yahni bu matrittsaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan A va B matrittsalarning ustunlari sistemasi o’zaro ekvivalent ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun bu
^{matrittsalarning rangi bir xil bo’ladi, yahni} r A r B ^{kelib chiqadi.}
Etarliligi. A va B matrittsalar bir xil rangga ega bo’lsin. Bundan A matrittsa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi B matrittsada ham maksimal chiziqli erkli sistema bo’lib qolishligi kelib chiqadi.SHunda qilib A matrittsa ustunlari sistemasi orqali

2. 
   matrittsaning oxirgi ustuni chiziqli ifodalanadi. Demak, shunday
   

k₁, k₂ ,…, k_s
sonlar

majmui mavjud bo’ladiki, A matrittsaning bu sonlar bilan ko’paytirishdan olingan ustunlari

yig’indisi ozod hadlardan iborat ustunga teng, yahni
k₁, k₂ ,…, k_s
sonlar (1) sistemaning

yechimi bo’ladi, shunday qilib, A va B matrittsalar ranglarining bir xilda bo’lishidan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbotlandi.
Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini keltiramiz.
^A matrittsaning rangi ^B matrittsaning rangiga teng bo’lib, r A r B k
bo’lsin. Bunda k son A matrittsaning chiziqli erkli satrlarining maksimal soniga teng bo’lib, k nomahlumlar soniga teng bo’lsa, u holda sistema tenglamalari soni nomahlumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli bo’ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo’lib uni Kramer qoidasi bo’yicha topish mumkin bo’ladi.
Endi matrittsalarning rangi ^k nomahlumlar sonidan kichik, yahni ^{k n} bo’lsin.Bu
holda ^k - tartibli minor noldan farqli bo’ladi. Sistema tenglamalarining har qaysisida

x_{k 1} , x_k
2 , …, x_n
nomahlumli hadlarini tenglamalarning o’ng tomoniga o’tkazamiz va bu

nomahlumlar uchun biror
c_{k 1} , c_k
2 ,…, c_n
qiymatlari majmuini tanlab olib k nomahlumli

k ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil bo’lgan sistemaga Kramer qoidasini qo’llash

mumkin va yagona
c₁, c₂ ,…, c_k
yechim majmui mavjud bo’ladi. Sistema tenglamalarining

o’ng tomoniga o’tkazilgan nomahlumlarni ozod nomahlumlar deb ataymiz. CHap tomondagi

nomag’lumlarbosh(bazis) o’zgaruvchilar, Ozod nomahlumlar uchun
c_{k 1} , c_k
2 ,…, c_n

sonlarni ixtiyoriy tanlab olishig’iz mumkin bo’lganligi uchun hosil bo’lgan sistemaning cheksiz ko’p turlicha yechimlari shu yo’l bilan hosil qilinadi. SHunday qilib, bu holda cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz.