Reja: Chiziqli algebraik

3.3. Kroneker-Kopelli teoremasi 3.4.-teorema. (Kroneker-Kapelli).

(1)-chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun asosiy matrittsa bilan kengaytirilgan matrittsaning rangi teng, yahni bo’lishi zarur va yetarli.

Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:

1. 
   Agar bo’lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi, yahni sistema yechimga ega emas;
   
2. 
   Agar bo’lsa (1)-tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega;
   
3. 
   Agar bo’lsa tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.
   

Agar tenglamalar sistemasi yechimga ega bo’lsa, bu sistema birgalikda deyiladi. Agar bu
yechimlar yagona bo’lsa, sistema aniqlangan sistema deyiladi
Endi bo’lgan sistemani qaraymiz. Bu holda sistemaga bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Ushbu bir jinsli

^a11 ^x1 ^a21 ^x1
^a12 ^x2
^a22 ^x2
...
...
^a1n ^xn ^0
a2n ^xn ⁰
(5)

..........................................

^an1 ^x1
^an 2 ^x2
...
^ann ^xn ⁰

sistema doim birgalikda, chunki V matrisa A matrisadan faqat elementlari nollardan iborat ustun bilan farq qiladi, yahni

^a11
_A ^a21
....
^am1
^a12 ^a22
....
^am 2
...
...
...
...
^a1n
^a2n _,
....
^amn
^a11
_B ^a21
....
^am1
^a12 ^a22
....
^am 2
...
...
...
...
^a1n ^a2n
....
^amn
0
0
₀ .(6)
0

SHu sababli .
A matrittsa bilan V matrisa teng bo’lishi uchun (5)-tenglamalar sistemasi doim nolh yechimga ega, yahni: . Bu yechimlarga trivial yechimlar deyiladi. (5)-
bir jinsli sistema qachon nolmas yechimga ega bo’lishi haqidagi savolga ushbu teorema javob beradi.