Режа: Иррационал сон тушунчасини киритиш методикаси. Ҳақиқий сонлар

6-таъриф. Агар ихтиёрий М сони (М Р) олинганда ҳам шундай х₀ элементи (х₀ Е) топилсаки,
х₀>М
тенгсизлик бажарилса, яъни

бўлса, Е тўплам юқоридан чегараланмаган дейилади.

7-таъриф. Агар ихтиёрий т сони (т Р) олинганда ҳам шундай х₀ элементи (х₀ Е)топилсаки,
х₀ <т
тенгсизлик бажарилса, яъни х₀ : х₀<т
бўлса, Е тўплам қуйидан чегараланмаган дейилади.
Масалан,
1) Э₁= {., - 2, -1, О} тўплам юқоридан чегараланган;

2) Е₂ = {1, 2,3,.} тўплам қуйидан чегараланган;

3) Е₃= тўплам чегараланган,
4) Е₄={х Р| х<0} тўплам юқоридан чегараланмаган;
Е₅ = {х Е Р | х < 0} тўплам қуйидан чегараланмаган
бўлади,
Энди сонлар тўпламининг аниқ, юқори ҳамда аниқ қуйи
чегаралари тушунчаларни келтирамиз.
Айтайлик, Е Р тўплам ва а Р сони берилган бўлсин.
8-теорема. Агар
1) а сони Е тўпламнинг юқори чегараси бўлса,
2) Е тўпламнинг ихтиёрий юқори чегараси М учун а М тенгсизлик бажарилса у ҳолда а сони Е тўпламнинг аниқ юқори чегараси дейилади. ва а=sup E каби белгиланади:
Демак, Е тўпламнинг аниқ юқори чегараси, унинг юқори чегаралари орасида энг кичиқ бўлар экан
9- таъриф. Фараз қилайлик Е Р тўплам ва б Р сони берилган бўлсин. Агар
1) б сон Е тўпламнинг қуйи чегараси бўлса,
2) Е тўпламнинг ихтиёрий қуйи чегараси м учун б м тенгсизлик бажарилса, у ҳолда б сон Е тўпламнинг аниқ қуйи чегараси дейилади. ва inf E каби белгиланади.
б=inf E.
Демак, Е тўпламнинг аниқ қуйи чегараси, унинг қуйи чегаралари орасида энг каттаси бўлар экан.
1-теорема. Фараз қилайлик, Е Р тўплам ва а Р сони берилган бўлса. А сони Е тўпламнинг аниқ юқори чегараси бўлиши учун.
1) а сони Е тўпламнинг юқори чегараси,
2) а сонидан кичиқ бўлган ихтиёрий учун Е тўпламда х >α тенгсизликни қаноатлантирувчи х сонининг топилиши зарур ва етарли.
◄Зарурлиги. Айтайлик,
а=inf E
бўлсин. 8-Таърифга биноан:
1) учун , яъни а сони Е тўпламнинг юқори чегараси;
2) а сони юқори чегаралари орасида энг кичиги.Бинобарин, а дан α кичиқ сони учун х >α бўлган сони топлади.

Етарлилиги. Теореманинг иккала шарти бажарилсин. Бу ҳолда, равшанки α < а шартини қаноатлантирувчи ҳар қандай α сони Е тўпламнинг юқори чегараси бўлолмайди.
Демак, а-тўпламнинг юқори чегаралари орасида энг кичиги.
Унда таърифга кўра.
А=sup E
бўлади. ►
Худди шўнга ўхшаш қуйидаги теорема исботланади.
2-теорема. Фараз қилайлик, Е Р тўплам ва сони берилган бўлсин. б сони Е тўпламнинг аниқ қуйи чегараси бўлиши учун.
1) b сони Е тўпламнинг қуйи чегараси,
2) b сонидан катта бўлган ихтиёрий учун Е тўпламда тенгсизликни қаноатлантирувчи х топлиши зарур ва етарли.
Еслатма. Агар Е Р тўплам юқоридан чегараланмаган бўлса, у ҳолда sup E= +∞ .
қуйидан чегараланмаган бўлса, у ҳолда
inf E= - ∞
деб олинади.