Reja Kirish I bob. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalaning qo’yilishi

2. Issiqlik tarqalish tenglamasi. Issiqlik tarqalish yoki muhitda zarrachalarning diffuziya jarayonlari ushbu umumiy diffuziya tenglamasi bilan ifodalanadi:
(1.1.8)
Issiqlik tarqalish tenglamasini keltirib chiqaramiz. Muhit nuqtasining t vaqtdagi haroratini u(x,t) orqali, shu nuqtani o’z ichiga olgan ixtiyoriy hajm (soha) ni V orqali belgilab olamiz. V ning chegarasi S bo’lsin. Ma’lumki muhit turli qismlarining harorati turlicha bo’lsa, u holda ko’proq qizigan qismdan ozroq qizigan qismga qarab issiqlik harakati sodir bo’ladi. V hajmda vaqt oralig’ida issiqlik o’zgarishini tekshiramiz.
Fur’ye qonuniga asosan, S sirtning qismdan vaqtda o’tuvchi issiqlik miqdori , va haroratning normal bo’yicha hosilasi ga proporsional bo’ladi, ya’ni
(1.1.9)
Bu yerda k>0 funksiya –ichki issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti, n-issiqlik harakati yo’nalishi bo’yicha ga o’tkazilgan normal.
Tekshirilayotgan muhitni izotrop deb hisoblaymiz ya’ni issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti k faqat muhitning
nuqtasiga bog’liq bo’lib, S sirtning normali yo’nalishiga bog’liq emas, boshqacha aytganda issiqlik tarqatayotgan yo’nalishga bog’liq emas. S sirt orqali vaqt oralig’ida
V hajmga kirayotgan issiqlik miqdori (1.1.9) formulaga asosan
(1.1.10)
ga teng, n-S sirtga o’tkazilgan ichki normal, chunki issiqlik S ning ichiga kiryapti. V hajm bo’lagining haroratini vaqtda ga o’zgartirish uchun sarf qilinadigan issiqlik miqdori

ga teng, bunda -muhitning zichligi va issiqlik sig’imi (berilgan jismni ga isitish uchun zarur bo’lgan issiqlik miqdori). Demak, V hajm haroratini ga o’zgartirish uchun zarur bo’lgan issiqlik miqdori
(1.1.11)
ga teng.

bo’lgani uchun (1.1.11) tenglik ushbu ko’rinishda yoziladi:
(1.1.12)
Faraz qilaylik, tekshirilayotgan hajm ichida issiqlik manbalari bo’lsin. Issiqlik manbalarining zichligini (birlik vaqt ichida birlik hajmdan ajralgan yoki unga singib ketgan issiqlik miqdori F(x,t) deb belgilab olamiz.
V hajmdan vaqt oralig’ida ajralayotgan yoki unga singib ketayotgan issiqlik miqdori

ga teng. Endi balans tenglamasini tuzamiz. Ravshanki, , ya’ni
(1.1.13)
u(x,t) funksiyani fazoyiy koordinatalar bo’yicha ikki marta, t bo’yicha bir marta differensillanuvchi va bu hosilalar tekshirilayotgan sohada uzluksiz deb hisoblab,

Tenglikni e’tiborga olsak, Gauss-Ostragradskiy formulasiga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Bunga asosan (1.1.13) formula ushbu ko’rinishda yoziladi:
.
Bundan darhol V hajm va vaqt oralig’i ixtiyoriy bo’lgani uchun
(1.1.14)
issiqlik tarqalish tenglamasini hosil qilamiz.
Agar muhit bir jinsli bo’lsa,ya’ni funksiyalar o’zgarmas bo’lsa, (1.1.14) tenglama
(1.1.15)
ko’rinishga keladi, bunda

(1.1.15) tenglama issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi ham deyiladi. (1.1.15) tenglamani keltirib chiqarishda fazoviy koordinatalar soni n ni 3 ga teng deb hisoblagan edik. Bu tenglamada n son ixtiyoriy bo’lishi mumkin. Agar tekshirilayotgan muhitda issiqlik manbalari bo’lmasa, ya’ni F=0 bo’lsa, bir jinsli issiqlik o’kazuvchanlik tenglamasi hosil bo’ladi:

Tebranish tenglamalaridek, issiqlik tarqalish jarayonini to’la ifodalash uchun muhitda haroratning boshlang’ich tarqalishi (boshlang’ich shart) hamda muhitning chegarasidagi holati berilishi shart. Boshlang’ich shart, to’lqin tenglamalaridan farqli, u(x,t) funksiyaning boshlang’ich vaqtdagi qiymatini berishdan iboratdir, ya’ni
(1.1.16)
Chegaraviy shartlar haroratning chegaradagi rejimiga qarab turlicha bo’lishi mumkin.
1)Agar S chegarada berilgan bir xil harorat saqlanayotgan bo’lsa, u holda
(1.1.17)
2)Agar S da berilgan issiqlik oqimi bir xil bo’lsa, u holda
(1.1.18)
3) Agar S da issiqlik almashinish sodir bo’layotgan bo’lsa, Nyuton qonuniga asosan
(1.1.19)
bo’ladi. Bunda h-issiqlik almashinish koeffisiyenti, -atrof muhitning harorati xuddi issiqlik tarqalish tenglamasiga o’xshash zarrachalar diffuziyasi tenglamasi keltirib chiqariladi. Faqat bunda Furye qonuni o’rniga birlik vaqtda sirtning ds qismidan o’tuvchi zarrachalar oqimi uchun Nernst qonunidan foydalanish kerak.
Bunga asosan
,
bu yerda D(x) –diffuziya koeffisiyenti, u(x,t)-t vaqtda x nuqtadagi zarrachalar zichligi. u(x,t) zichlik uchun (1.1.8) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, unda g’ovaklik koeffisiyentini belgilaydi, q esa muhitning singdirishini ifodalaydi. (1.1.15) issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi parabolik tipdagi tenglamalarning yaqqol vakilidir.