Reja Kirish I bob. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalaning qo’yilishi

3.Statsionar tenglamalar. Statsionar, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan jarayonlar uchun F(x,t)=F(x), u(x,t)=u(x), (1.1.1) tebranishlar hamda (1.1.4) diffuziya tenglamalari ushbu
(1.1.20)
ko’rinishga ega bo’ladi
p=const, q=0 (1.1.20) tenglamadan
(1.1.21)
tenglama hosil bo’ladi. Agar F(x)=0 bo’lsa,
(1.1.22)
Tenglamaga ega bo’lamiz.
(1.1.21) tenglama Puasson, (1.1.22) tenglama esa Laplas tenglamasi deb ataladi .
Statsionar jarayonlarni to’la ifodalash uchun chegaradagi holatni, ya’ni (1.1.17), (1.1.18) va (1.1.19) chegaraviy shartlardan birini berish zarurdir.
Faraz qilaylik, (1.1.7) to’lqin tenglamasida tashqi ta’sir F(x,t) davriy bo’lib, uning chastotasi , amplitudasi
bo’lsin:
.
Agar u(x,t) ni ham chastotali va noma’lum u(x) amplitudali davriy funksiya deb izlasak, ya’ni

u holda u(x) funksiya uchun ushbu
(1.1.23)
statsionar tenglama hosil bo’ladi.
(1.1.23) tenglama Gelmgols tenglamasi deyiladi. Yuqorida keltirilgan statsionar tenglamalar elliptik tipga tegishli bo’lgan tenglamalarning vakilidir.


1.2. Matematik fizika tenglamalariga qo’yiladigan asosiy masalalar, hamda korrekt qo’yilgan masala.
1. Asosiy masalalarning qo’yilishi. Yuqorida ko’rsatib o’tganimizdek asosan biror fizik jarayonni to’la o’rganish uchun, bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang’ich holatini (boshlang’ich shartlarni) va jarayon sodir bo’layotgan sohaning chegarasidagi holatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir.
Matematik nuqtai nazardan bu narsa differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan bog’liqdir.
Oddiy differensil tenglamalar kursidan ma’lumki, n-tartibli

Tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liqdir, ya’ni Bu o’zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya y(x) qo’shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o’zgarmaslarga emas, balki umuman aytganda ixtiyoriy funksiyalarga bog’liq bo’lib, bu funksiyalarning soni tenglamaning tartibiga teng bo’ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo’ladi.
Jarayon sodir bo’layotgan soha bo’lib, S uning chegarasi bo’lsin. S ni bo’laklari silliq sirt deb hisoblaymiz. Demak, G (1.1.20) tenglamadagi erkli x o’zgaruvchilarning o’zgarish sohasi, ya’ni (1.1.20) tenglamaning berilgan sohasidir. (1.1.1) va (1.1.8) tenglamalarning berilish sohasi asosi G va balandligi T bo’lgan silindrdan iborat deb hisoblaymiz. Bu silindrning chegarasi uning yon sirti ikkita quyi va yuqori asoslaridan iboratdir (1.2.1-chizma).

1.2.1-chizma.(Jarayon sodir bo’layotgan soha)
(1.1.1), (1.1.8), (1.1.20) tenglamalarning koeffisiyentlarini t o’zgaruvchiga bog’liq emas, bularning fizik ma’nosiga ko’ra deb hisoblaymiz.
Nihoyat ko’rilayotgan tenglamalarning matematik ma’nosiga ko’ra shartlarning bajarilishi ham zarurdir. Bularga asosan (1.1.1) tenglama giperbolik, (1.1.8) parabolik, (1.1.20) esa elliptik tipga tegishli bo’ladi. Differensial tenglamalar uchun, asosan, uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi.