Reja: Matritsalar va ular ustida amallar

Teorema 1. Quyidagi elementar (oddiy) almashtirishlar bajarilganda matritsaning rangi o’zgarmaydi:

1. 
   
   Ixtiyoriy ikkita parallel qatorlarning o’rinlari almashtirilganda;
   
2. 
   Qatorning har bir elementini bir xil 𝜆 ≠ 0 songa ko’paytirilganda;
   
3. 
   Qatorning elementlariga ixtiyoriy boshqa qatorning mos elementlarini bir xil songa ko’paytirib qo’shganda.
   

Agar biror matritsa boshqa matritsadan elementar almashtirishlar yordamida hosil qilinsa, bunday matritsalar ekvivalent matritsalar deyiladi. 𝐴 va 𝐵 matritsalarning ekvivalentligi 𝐴 ∼ 𝐵 deb belgilanadi.
Tartibi berilgan matritsaning rangiga teng bo’lgan noldan farqli har qanday minor matritsaning bazis minori deyiladi.

M atritsaning rangini topish usullari

Birlar va nollar usuli.
E lementar almashtirishlar yordamida har qanday matritsani shunday ko’rinishga keltirish mumkinki, bunda matritsaning har bir qatori faqat nollardan yoki faqat nollardan va bitta birdan iborat bo’ladi. Hosil bo’lgan matritsa dastlabki matritsaga ekvivalent bo’lganligi uchun oxirida qolgan birlarning soni dastlabki matritsaning rangi bo’ladi. Quyidagi matritsaning rangini va bazis minorini toping. 1 1 2 3 −1
2 −1 0 −4 −5
𝐴 =.
−1 −1 0 −3 −2
6 3 4 8 −3

M atritsaning rangini topish usullari

Yechish. 𝐴 matritsaning uchinchi ustunini ga ko’paytiramiz. So’ngra, hosil bo’lgan birinchi satrni 2 ga ko’paytiramiz va uni to’rtinchi satrdan ayiramiz. Endi uchinchi ustun uchta nollar va bitta birdan (birinchi satrda) iborat bo’ladi:

1. 
   1 1 3 −12 2 2 6 −2
   
2. 
   −1 0 −4 −52 −1 0 −4 −5
   

𝐴 ∼∼∼
−1 −1 0 −3 −2−1 −1 0 −3 −2
6 3 2 8 −36 3 2 8 −3
2 2 2 6 −22 2 1 6 −2
2 −1 0 −4 −52 −1 0 −4 −5
∼∼.
−1 −1 0 −3 −2−1 −1 0 −3 −2
4 1 0 2 −14 1 0 2 −1