Reja: Ob’yektlarni matematik yozuvlari, matematik modellari

6. Tasodifiy miqdorlarning sonli xususiyatlari

Jarayon yoki tizimlarning ko`rsatkichlarini o`lchashda, tasodifiy miqdorlarning to`la xususiyatlari bo`lib, ularning taqsimot qonunlari (funktsiyalari) hisoblanadi.

Jadvalda jarayon va tizimlarni modellashtirishda tez-tez uchraydigan differentsial va integral taqsimot funktsiyalar, ularning o`zgarish sohasi, ko`rsatkichlari, sonli xususiyatlari keltirilgan.
Hisoblash ishlarini soddalashtirish maqsadida tasodifiy miqdorlarning asosiy sonli xususiyatlarini hisoblashdan oldin tajriba natijalari ustida ba’zi bir operatsiyalar bajariladi:

1. 
   Agar tajriba natijalari kasr qiymatlardan iborat bo`lsa, ularni butun holga keltirish uchun biror songa ko`paytiriladi.
   
2. 
   Agar tajriba natijalari bir-biridan faqat oxirgi bir necha raqamlari bilan farq qilsa, sonlarning oldingi bir xil bo`lgan raqamlari tashlab yuboriladi.
   

Misol: faraz qilaylik, jarayon yoki tizimning biror ko`rsatkichini o`lchash natijasida quyidagi natijalar olinsin: 8,35; 8,09; 8,93; 8,64; 8,37; 8,71; 8,19; 8,24; 8,64; 8,32.
Bunda sonlarni 100 ga ko`paytirib 800 ni ayirsak 35; 9; 93; 64; 37; 71; 19; 24; 64; 32 butun sonlarga ega bo`lamiz. Sonli xususiyatlarni hisoblab bo`lgandan keyin bajarilgan operatsiyalarga teskari operatsiyalar bajariladi, ya’ni natijaga 800 qo`shilib, 100 ga bo`linadi.

1-jadval.

Taqsimot-ning nomi	Taqsimot funktsiyalar	Tasodifiy miqdorning o`zgarish sohasi	Taqsimot parametrlari	Asosiy sonli xarakteristikalar
1	2	3	4	5
Gaussning normali		-	M{Y}=; -<< D(Y)=^2; >0	M{Y}=; D(Y)=^2; KA=0; KE=3
Normal uchun		--	M{Y}=; D(Y)=^2;	M{Z}=0; D(Z)=1; KA=0; KE=3
Puasson		Y=0,1,2	>0	M{Y}==; D{Y}=^2=;
Logarifmik Normal		0Y<	-<= =M{lnY}< 0<^2=D{lnY}	M{Y}==exr(+ +0,5^2)=e ; D{Y}=^2=(- -1)exr(2+^2)= (-1)^2;- =exr^2; KE=(-1)(^3+3^2+6+6)+3; M0{Y}=exr(--^2); Me{Y}=exr.
Gamma - taqsimot		0Y<	>0 >0
Eksponen-tsial	f{Y}=exr(-Y) F{Y}=1-exr(-Y)	0Y<	>0	M{Y}==1/; D{Y}=^2=1/^2; KA=2; KE=9; M0{Y}=0; Me{Y}=ln2/
1	2	3	4	5
Ko`rsatkich darajali		0Y<	>0	M{Y}==+1; D{Y}=^2=+1;
Veybulla	f{Y}=Y^^-1exr(-Y^) F{Y}=1-exr(-Y^)	0Y<	>0 =1/>0	M{Y}==^1/^G(1+ +1/); D(Y)=^2=^2/^{G(1++2/)-G^2(1+1/)}; 3=[G(1+3/)- -3G(1+ +1/)G(1+2)+2G^3(1+1/)]^4/^; 4=[G(1+4/)- -4G(1+ +3/)G(1+1/)+ +6G(1+ +2/)G^2(1+1/)- -3G^4(1+1/)]^4/^;
Syudentning t–taqsimoti		- M{x}=0 D{x}=1	n>0	M{Y}=0 (n2); D{Y}=^2=n/(n-2) (bunda n3) KA=0 (n4); M0{Y}=0
Fisher – Snedekor-ning F – taqsimoti		0Y=F< M{x}=0 D{x}=1	f1=n1-1>0 f2=n2-1>0
Beta – taqsimot		0Y<	>0 >0
Teng o`lchamli to`g`ri burchakli	F(Y)=1 bunda Y>Y2	Y1Y2	Y1;Y2;	M{Y}==(Y1+Y2)/2; D(Y)=^2=(Y2- -Y1)^2/12; KA=0; KE=1,8
Pirsonning ^2–kvadrat		0Y=^2< M{x}=0 D{x}=1	n	M{Y}==n; D(Y)=^2=2n; KA= ; KE=(12/n)+3 M0{Y}=n-2 (bunda n>2)

Tasodifiy miqdorlarning asosiy sonli xususiyatlari o`rta qiymat (matematik kutilish), dispersiya va variatsiya koeffitsiyentlaridir. O`rta qiymat tasodifiy miqdor taqsimotining markazini aniqlaydi. O`rta qiymat o`rta arifmetik ko`rinishida hisoblanadi va M{Y}=Y ko`rinishida belgilanadi.

Dispersiya - tasodifiy miqdor qiymatlarining o`rta qiymat atrofida taqsimlanishini xarakterlaydi va <sup>2</sup>{Y} bilan belgilanadi. <sup>2</sup>{Y}=S<sup>2</sup>{Y} formuladan hisoblanadi. Bunda {Y}= - o`rta kvadratik og`ish deyiladi.
Tajribalar soni kichik (m<30) bo`lganda dispersiya
(7)
yoki (8)
yoki (9)
formulalar bo`yicha hisoblanadi.
Variatsiya koeffitsiyenti - tasodifiy miqdorning nisbiy taqsimotini xarakterlaydi. V{Y} yoki CV{Y} ko`rinishda belgilanadi va
(10)
formula bo`yicha hisoblanadi.
Ba’zan foiz ko`rinishda ham hisoblanadi va kvadratik notekislik deyiladi.
(11)
Agar tajribalar soni 30 dan ortiq bo`lsa, hisoblashni osonlashtirish uchun «ko`paytirish uslubi» yoki «shartli nolg` Y<sub>0</sub> dan boshlab hisoblash usuli» qo`llaniladi. Bunda tajriba natijalari intervallarga ajratiladi. m ga bog`liq ravishda intervallar soni quyidagicha hisoblanadi. m va K orasidagi bog`lanish quyidagi formula orqali topiladi yoki m va K orasidagi bog`lanish 2-jadvalda ham keltirilgan.
(12)
2-jadval

m	40-60	61-100	101-200	201-300	301-500	500 va undan ortiq
k	5-7	7-10	10-13	13-15	15-18	18-25

SHundan so`ng, intervalning miqdori aniqlanadi.

(13)
_y ning qiymatiga qarab intervallarning chegaralari va intervallarning o`rtacha qiymatlari hamda har bir intervaldagi chastotalar (intervalga tushgan tajriba natijalari sonlari) aniqlanadi (3-jadval)
3-jadval

Interval chegarasi	Intervalning o`rta qiymati Yi^*	CHasto ta mi	yi tasodifiy miqdorlar-ning nor-mallangan qiymati	miyi	yi^2	miyi^2
YminYmin+y ……………….. ……………… Ymax-y Ymax 	Y^*1 ….. Y^*0 ….. Y^*k —	m1 ……. m0 ….. mk mi=m	y1 ….. y0 ….. yk —	m1y1 ……. m0y0 ….. mkyk miyi	^y1^2 ….. y0^2 ….. yk^2 —	m1y1^2 ……. m0y0^2 ….. mkyk^2 miyi^2

3-jadvaldan va «shartli nolg` usuli»dan foydalanib o`rta qiymat va o`rta kvadratik og`ishni hisoblaymiz

(14)
(15)
bunda - ko`rsatkichning normallangan qiymati; Y<sub>0</sub><sup>*</sup> - shartli nol, odatda m<sub>i</sub> ning maksimal qiymatlari olinadi; Y<sub>i</sub><sup>*</sup> -i-intervalning o`rta qiymati (11) formula bo`yicha kvadratik notekislik hisoblanadi. Kvadratik notekislik (%) foizlarda belgilanadi va (11) formuladan topiladi.

Misol: 4 - jadvalda 200 ta tajribalar natijalari keltirilgan, bunda _y=0.4 va Y₀^*=12.4.
4-jadval

CHegaraviy qiymatlar	Y^*i	mi	yi	mi yi	yi^2	mi yi^2
10.6-11 11-14 14-18 18-12.2 12.2-12.6 12.6-13.0 13.0-13.4 13.4-13.8 13.8-14.2	10.8 12 16 12.0 12.4 12.8 13.2 13.6 14.0	8 10 15 41 42 40 24 17 3	-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4	-32 -30 -30 -41 0 40 48 51 12	16 9 4 1 0 1 4 9 16	128 90 60 41 0 40 96 153 48
	—	200	—	+18	—	656

(11), (14) va (15) formulalardan foydalanib, quyidagi qiymatlarga ega bo`lamiz.