Reja: To’lqin funktsiyasi

REJA:
1. To‘lqin funksiyasiga matematik talablar.
2. Zarraning erkin harakati.
3. Bir o‘lchamli potensial o‘radagi zarra.
Eslatma: Stasionar holatda to‘liq energiya uchun quyidagi tenglama hosil bo‘ladi (to‘liq energiya deyilganda, stasionar holatdagi tizim energiyasi tushuniladi):
(11)
Kvant mexanikasining prinsipial masalalarini hal qilishda Shredinger tenglamasi operatorlar orqali ifodalanadi. (11) ifodada keltirilgan Shredingerning stasionar tenglamasida qavs ichidagi ifoda operator orqali quyidagicha aniqlanadi:
(12)
formulada H – Gamilton operatori deyiladi. U vaqtda (11) ifodadagi stasionar tenglama qisqa holda quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

(13) tenglama Shredingerning stasionar tenglamasi bo‘lib, quyidagicha tushuntiriladi: Ψ(r) funksiyaga ta’sir qiluvchi H^ˆ – operator Ψ(r) funksiyaga ko‘paytirilgan to‘liq energiya E ga teng. Nostasionar holatlar uchun Shredingerning vaqtga bog‘liq bo‘lgan umumiy tenglamasi (8) qisqa holda quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
Eslatma: (8)
(14)
(13) va (14) tenglamalarni taqqoslashdan energiya operatori uchun quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:
(15)
Gamilton operatori. Klassik fizikada Gamilton funksiyasi deb, zarraning impuls va koordinatasi orqali ifodalangan to‘liq energiyasiga aytiladi. Bir zarra uchun to‘liq energiya kinetik va potensial energiyalar yig‘indisi sifatida aniqlanadi:
(16)
Gamilton funksiyasi ta’rifiga asosan zarraning kinetik energiyasi tezlik bilan emas, balki impuls orqali ifodalansa, (16) formula quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
(17)

To‘lqin funksiyalari. Zarraning erkin harakatida tashqi kuchlar ta’sir qilmaydi (U=0). Bunday holda zarraning to‘liq energiyasi uning kinetik energiyasi bilan aniqlanadi. Bunda Gamilton operatori H^ˆ va Shredinger tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:
(18)
(19)
Bunda (20)
U vaqtda (x) uchun quyidagi tenglama hosil bo‘ladi:
(21)
(21) tenglamaning yechimi: (22)
A va B lar doimiyliklardir.
Shredinger tenglamasi asosida kvantlash to‘g‘riburchak shaklidagi bir o‘lchamli simmetrik “potensial o‘ra” misolida tushuntiriladi.
U(x) potensial funksiya intervalda
doimiy qiymatga ega bo‘ladi va bu intervaldan
tashqarida nolga aylanadi (1-rasm). Bunday hol uchun Shredinger tenglamasining aniq yechimini hosil qilish va shu asosda energiyaning kvantlanishini qarab chiqish mumkin. Cheksiz chuqur potensial o‘rani ko‘raylik. Bunda kattalik cheksizga aylanadi. Bunday holda
potensial funksiyaning nol qiymati uchun, uning potensial o‘ra tubidagi qiymati, ya’ni intervaldagi qiymati olinadi. Bu vaqtda o‘raning devorlarida (ya’ni x=± bo‘lganda) 0 dan +∞ bo‘lgan oraliqda U(x) funksiyada uzilish bo‘ladi.
Bunday potensial o‘ra 2-rasmda keltirilgan. Chekli chuqurlikka ega bo‘lgan potensial o‘ra holidan cheksiz chuqur potensial o‘ra holiga o‘tishdagi matematik soddalashtirish, oraliqdan tashqarida U funksiya cheksiz katta bo‘lganda funksiya nolga aylanishi bilan bog‘liqdir. Haqiqatdan ham klassik fizikaga asosan, oxirgi energiyasi E bo‘lgan zarra U(x)=+∞ bo‘lgan sohaga o‘ta olmaydi.
Kvant mexanikasida bunday holat ehtimoliyat zichligi va funksiyani o‘zi ning nolga aylanishi talabi bilan almashtiriladi.
Shunday qilib, Shredinger tenglamasining yechimini faqat oraliqda ko‘rib chiqish yetarli bo‘ladi. oraliq ichida U(x)=0.