Решение. Чтобы проверить, является ли уравнение обобщенно-однородным, заменим в уравнении

Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Будем искать одно решение этого уравнения в виде многочлена. Можно считать, при необходимости домножив решение на постоянную, что коэффициент при старшей степени этого многочлена равен 1. Пусть — искомое решение (точками обозначены члены низшей степени). Подстановка этого многочлена в уравнение должна привести к тождественному равенству. В результате такой подстановки в левой части уравнения будет стоять многочлен
Старшая степень x, входящая в левую часть, есть . Приравнивая к нулю
коэффициент при ней, получим уравнение для определения степени многочлена: , откуда . Следовательно, искомое решение, согласно сделанному выше замечанию, нужно искать в виде Подставим это выражение в исходное дифференциальное уравнение и приравняем нулю коэффициенты при всех степенях x полученного многочлена. Полученная система уравнений на a и b дает , поэтому . Общее решение уравнения запишется по формуле (9.8).
Чтобы не вычислять полученный в (9.8) интеграл, попробуем найти еще
одно решение уравнения. Будем искать его в виде . Подставив y2 в
уравнение, после сокращения на получим уравнение
Приравняем все его коэффициенты к нулю. Получим систему уравнений
При a = 2 эти равенства будут выполняться одновременно. Следовательно,
является решением исходного уравнения. В силу линейной независимости функций y1 и y2, их линейная комбинация определит общее решение уравнения.
9.2. Линейное неоднородное уравнение
Рассмотрим уравнение
(9.9)
в правой части которого стоит заданная непрерывная на интервале I функция f(x). Для удобства мы будем считать коэффициент при старшей производной равным 1. Уравнение (9.9) называется линейным неоднородным уравнением n-го порядка (функция f(x) называется свободным членом уравнения). Линейное однородное уравнение (9.1) иногда называют соответствующим однородным уравнением для уравнения (9.9). Если известно общее решение (9.3) соответствующего однородного уравнения y0 и некоторое частное решение уравнения (9.9), то общее решение неоднородного уравнения дается формулой . Для отыскания частного решения уравнения (9.9) удобно пользоваться теоремой о сложении решений, которая состоит в следующем. Правую часть уравнения (9.9) разбивают на сумму функций более простого вида: и находят частные решения уравнений , соответственно. Тогда будет решением уравнения (9.9) с правой частью f(x).
Если решение уравнения (9.9) подобрать не удается, но известно общее
решение (ф.с.р.) соответствующего однородного уравнения (9.1), то можно
найти общее решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа. Суть этого метода заключается в том, что решение неоднородного уравнения (9.9) ищется в том же виде (9.3), что и общее решение соответствующего однородного уравнения (9.1), но коэффициенты , считаются не постоянными, а пока неопределенными функциями Найти эти функции можно, решив алгебраическую систему уравнений относительно их производных :


…

(9.10)

Определитель этой системы есть определитель Вронского

фундаментальной системы решений, который не обращается в нуль на интервале I. Поэтому система (9.10) имеет единственное решение
. Отсюда получаем где — произвольные постоянные интегрирования. Подставляя эти значения в (9.3), запишем общее решение уравнения (9.9) следующим образом:
(9.11)
В формуле (9.11) первые n слагаемых представляют из себя общее решение уравнения (9.1), а сумма остальных определяет некоторое частное решение уравнения (9.9), которое получается из общего решения, если положить
. Однако, следует учитывать, что при обосновании метода вариации произвольных постоянных, коэффициент при старшей
производной уравнения (9.1) считается равным единице. Если это условие не выполняется, то в последнем уравнении системы (9.10) функцию f(x) нужно заменить на Если известно решение y1(x) уравнения (9.1), то порядок уравнения (9.9), как и для уравнения (9.1), понижается на единицу при помощи той же замены В этом случае получается неоднородное уравнение , левая часть которого определена в (9.6). Таким образом, если известно m линейно независимых решений уравнения (9.1), то порядок уравнения (9.9) может быть понижен на m единиц с сохранением линейности.
Пусть известно m решений , , . . . , уравнения (9.9). Тогда разности , . . . , , будут решениями соответствующего
однородного уравнения (9.1). Поэтому, если эти разности окажутся линейно
независимыми, то порядок уравнения (9.9) может быть понижен с сохранением линейности на единиц.