Решение. Чтобы проверить, является ли уравнение обобщенно-однородным, заменим в уравнении

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

Решение. Запишем систему в операторном виде (11.1):
Определителем матрицы (11.2) этой системы является многочлен
а соответствующие алгебраические дополнения равны
Применяя к первому уравнению дифференциальный оператор M11(p), а к
второму — , получим для x(t) уравнение
Применяя дифференциальные операторы M12(p) и M22(p) соответственно,
придем к уравнению (11.3) для :
Общие решения этих уравнений (их можно найти используя метод неопределенных коэффициентов, см. п. 10.2) имеют вид
Подставив эти функции в уравнения системы, и сократив на , придем к
тождествам:
Откуда . Полагая , общее решение системы
запишем следующим образом:

Рассмотрим однородную систему
(11.4)
В том случае, когда набор функций является решением системы (11.4), каждая функция этого набора будет некоторым решением
линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
(11.5)
порядка q. Однако, если составить набор из n произвольных решений уравнения (11.5), то такой набор , как и в случае системы (11.1),
также не будет решением системы (11.4).
Пусть — корень многочлена D(p) кратности k. Тогда решение
системы (11.4) ищут в виде
, (11.6)
где — искомая вектор-функция, а — векторный многочлен,
компонентами которого служат многочлены степени с неопределенными коэффициентами. Любое решение системы (11.4) вида (11.6) называется
решением, соответствующим корню . Подставив (11.6) в (11.4), сократив
на и приравняв нулю коэффициенты при всех степенях многочленов,
стоящих в левых частях полученных тождеств, придем к линейной однородной алгебраической системе уравнений для определения такого же числа коэффициентов многочлена . Обозначив через r ранг матрицы этой
системы, получим, что решение, соответствующее корню λ будет линейно
зависеть от произвольных постоянных.
Пусть, теперь — совокупность всех различных корней многочлена кратностей соответственно, так, что
Если — решения системы (11.4), соответствующие корням , то общее решение системы имеет вид

Пусть — вещественный корень Так как коэффициенты многочлена вещественные, то решение вида (11.6), соответствующее этому

корню, будет вещественным, если входящие в него произвольные постоянные
считать вещественными. Если λ — комплексный корень многочлена , то
сопряженное число также будет корнем этого многочлена, причем той же
кратности. Пусть
есть решение, соответствующее корню λ. Считая входящие в него произвольные постоянные комплексными, получим комплексное решение системы (11.4), соответствующее этому корню. Так как система (11.4) имеет вещественные коэффициенты, то ее решением, соответствующим корню , будет
Тогда сумма , входящая в (11.7), будет вещественной. Поэтому в случае комплексного корня λ решение, соответствующее корню , искать необязательно. Достаточно найти лишь комплексное решение, соответствующее корню λ, и взять его вещественную часть (множитель 2 можно опустить).