Решение. Чтобы проверить, является ли уравнение обобщенно-однородным, заменим в уравнении

§9. Линейные уравнения c переменными коэффициентами
9.1. Линейные однородные уравнения
Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид
, (9.1)
где , — функции, непрерывные на некотором интервале I
оси x.
Функции уравнения (9.1) называются линейно
зависимыми, если найдутся постоянные , не все равные нулю,
такие, что линейная комбинация этих решений на I. В противном случае, функции называются линейно независимыми.
Необходимым и достаточным условием линейной независимости n решений
(9.2)
уравнения (9.1) является условие хотя бы в одной точке ,


где

есть определитель Вронского (вронскиан) системы решений (9.2). Линейно
независимая система решений называется фундаментальной системой решений (ф.с.р.) уравнения (9.1) на интервале I. Если известна ф.с.р., то общее
решение уравнения (9.1) дается формулой
(9.3)
где C1, C2, . . . , Cn — произвольные постоянные.
Для определителя Вронского имеет место формула Остроградского-Лиувилля
(9.4)
В общем случае метода построения ф.с.р. не существует. Конечно, на уравнение (9.1) можно смотреть как на уравнение п. 8.1 и понизить его порядок при помощи замены (8.2). Но в этом случае нарушится основное свойство уравнения — свойство линейности. Так, если для уравнения (9.1) при n = 2 осуществить подобную замену, то придем к уравнению Риккати (см. п. 4.4),
которое в общем случае не интегрируется в квадратурах. Однако, если удается подобрать какое-либо решение уравнения (9.1), то его порядок может быть понижен на единицу с сохранением линейности. Действительно, полагая , где — новая неизвестная функция и вычисляя производные, получим
(9.5)
Так как производная представляет собой линейную
комбинацию с коэффициентами от x, то, подставив (9.5) в (9.1),
получим для линейное однородное уравнение того же порядка, но не
содержащее искомой функции (коэффициент при z равен ):
Следовательно, порядок полученного уравнения понижается на единицу заменой или после чего снова получается линейное
уравнение
. (9.6)
Если удается подобрать второе решение уравнения (9.1), линейно независимое с , то решением уравнения (9.6) будет функция Поэтому при помощи замены можно понизить порядок
уравнения (9.6) на единицу с сохранением линейности. Таким образом, если
известно m линейно независимых решений , , . . . , уравнения (9.1), то порядок уравнения может быть понижен с сохранением линейности на m единиц.
В случае уравнение (9.1) принимает вид
(9.7)
и при наличии одного его частного решения y1(x) указанным способом приводится линейному однородному уравнению первого порядка. Однако можно сразу записать общее решение уравнения, воспользовавшись формулой (9.4).
Действительно, пусть — любое другое решение уравнения, линейно независимое с . Обозначим . Тогда.
Разделив обе части полученного равенства на , получим

Последняя формула дает общее решение уравнения (9.7)
(9.8)
В некоторых случаях частное решение уравнения (9.7) (или (9.1)) удается
найти в виде многочлена от x или показательной функции .