Решение. Чтобы проверить, является ли уравнение обобщенно-однородным, заменим в уравнении

10.3. Уравнение Эйлера
Уравнением Эйлера называется уравнение
(10.12)
где , — действительные постоянные. Формально, это уравнение
является уравнением с переменными коэффициентами. Однако, при помощи
замены независимой переменной
при ( при ), (10.13)
оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. Действительно, вычисляя производные, получим

(в выражении для многоточием обозначена линейная комбинация
, , с постоянными коэффициентами). Подставив эти
производные в (10.12), получим уравнение с постоянными коэффициентами
Пример 7.
Решение. Замена (10.13) приводит к уравнению
Корни характеристического многочлена равны
. Частное решение полученного уравнения ищем в виде (10.4), а именно,
. Приравняв коэффициенты при степенях t в равенстве -a -
, получим . Следовательно, . Сделав обратную замену, получим
.
Если в уравнении (10.12) при вместо множителя стоит множитель , то такое уравнение называется уравнением
Лагранжа. С помощью замены оно также сводится к уравнению
с постоянными коэффициентами.

§11. Линейные системы дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами

11.1. Общая линейная однородная система c постоянными коэффициентами.
Метод исключения

Эта система дифференциальных уравнений имеет вид

(11.1)
Здесь t — независимая переменная, — неизвестные функции, , , — многочлены от оператора дифференцирования p с постоянными действительными коэффициентами (см. п. 10.1), а ,
, — заданные, достаточное число раз дифференцируемые функции. Число уравнений системы равно числу неизвестных функций. Таким
образом, каждое слагаемое представляет собой линейную комбинацию функции и ее производных с постоянными коэффициентами:
где — порядок системы (11.1) относительно неизвестной функции (порядок наивысшей производной функции xi, входящей в уравнения системы).
Тогда число называется порядком этой системы.
Обозначим через матрицу этой системы:
(11.2)
Пусть — определитель матрицы системы (11.1). Он является
многочленом от p с постоянными действительными коэффициентами некоторой степени q, где . Решением системы (11.1) называется набор достаточное число раз дифференцируемых функций которые
при подстановке в уравнения системы, обращают их в тождества. Обозначим
через алгебраическое дополнение (т.е., минор, взятый с надлежащим
знаком) элемента матрицы (11.2). Справедливо следующее тождество:




где — символ Кронекера ( , при ). Пусть набор функций
есть решение системы (11.1). Применяя к уравнениям системы дифференциальные операторы соответственно

и складывая полученные уравнения получим, что функция этого набора

будет решением уравнения с постоянными коэффициентами
(11.3)
Обратное неверно. Если взять произвольные решения xi(t) уравнений (11.3)
и составить набор функций , то этот набор, вообще говоря, не
будет решением системы (11.1). Для того чтобы найти общее решение системы (11.1), нужно найти общее решение каждого из уравнений (11.3),
, составить набор функций и выяснить, при каких соотношениях между постоянными интегрирования этот набор функций
будет решением системы (11.1).