С. Э. Фриш ва а. В. Тиморева

131-§. Электростатик майдон кучланган­
лиги билан потенциал орасидаги богланиш.
Энди потенциал билан кучланганлик орасида­
ги богланишни аницлайлик. Бундай богланиш- 
нинг бор эканлиги электр кучларининг ба­
жарган иши кучланганлик орцали дам, майдон 
нукталарининг потенциаллари айирмаси орца- 
ли дам ифодаланиши мумкинлигидан келиб 
чикади.
Ихтиёрий электростатик 
майдон олиб, 
унда бир-бирига якин иккита потенциал сатди 
сиртлари утказамиз. Бир сиртнинг потенциали 
V, иккинчисиники V + A V  булсин; А
1 / > 0
деб оламиз (40- раем). V  потенциал сатди 
сиртининг бирор В нуктасида потенциалнинг 
ортиш йуналишида сатдлар сиртига п нормаль утказамиз. п 
нормалнинг 
1
/ + Д
1
/ сатди сирти билан кесишиш нук'гасини 
В' билан белгилаймиз. В ва В' нукталар орасидаги масофа
40- раем. 
Б и р-би­
рига якин 
ж ой ­
лашган иккита По­
тенциал сатдларга 
утказилган п нор­
маль.

---

Ап га тенг булсин. Е кучланганлик потенциал сатди сиртига 
перпендикуляр, яъни п нормаль буйлаб йуналгандир, шу билан 
бирга, В ва В' нуцталар бир-бирига яцин жойлашганлиги учун 
улар орасидаги бутун масофада Е майдон кучланганлигини 
тацрибан узгармас дейиш мумкин. У долда бирор q зарядни 
В нуцтадан В ' нуцтага кучиришда бажарилган ишни куйидаги 
куринишда ёзиш мумкин:
А = q Е А п.
Иккинчи томондан, шу А ишнинг узини В ва В ’ нуцталар по- 
тенциалларининг айирмаси орцали ифодалаш мумкин:
A = q[ V - ( V + A V ) ] .
А ишнинг иккала ифодасини таццосласак, цуйидагини топамиз:
Е- Ап = — AV,  
бу тенгликдан Е  учун цуйидаги ифода келиб чицади:
Минус ишора Е кучланганлик п нормаль йуналишига царама- 
царши томонга йуналганлигини курсатади. Х,акицатан дам, п 
нормални потенциалнинг ортиш йуналишида утказдик, Е куч­
ланганлик эса таърифга кура, мусбат зарядга таъсир этаёгган 
куч йуналишида, яъни потенциалнинг камайиш томонига йу­
налгандир. Агар 
( 1 )
формулада Ап =
1 
деб олсак, цуйидаги таъ­
риф келиб чицади: майдон куч ла нга нли ги сон ж идатдан 
пот енциалнинг пот енциал сат%и сиртига перпендикуляр 
йуналиш да олинган у з у н л и к бирлигидаги узгариш ига тенг 
ва пот енциалнинг камайиш томонига йуналгандир.
Потенциал сатди сиртларига перпендикуляр йуналишда ку- 
чишда потенциалнинг ортиш йуналишида узгариш тезлигини
ифодаловчи ~  катталик пот енциал 
градиенти дейилади.
Градиент дацидаги тушунчадан фойдаланиб (1) ифодани цуйи- 
дагича таърифлаш мумкин: майдон куч ла нга нли ги сон жи- 
Хатдан пот енциал градиентига тенгдир.
Куйидаги м и с о л н и курайлик.
Х,ар бирининг потенциали доимий булган иккита параллел 
текислик орасидаги электростатик майдон кучланганлигини 
аницлайлик.
Иккита параллел чексиз текислик олиб, уларнинг потен- 
циалларини l/j ва V
3
билан белгилаймиз. Текисликлар ораси­
даги масофа d га тенг ( 4 1 - раем). Симметрия мулодазаларига 
кура, потенциал сатди сиртлари берилган текисликларга па­
раллел текисликлардан иборат булади.

---

Зарядланган текисликлар 
орасидаги барча 
нуцталарда 
электростатик майдон кучланганлиги бир хил ва текисликлар- 
га перпендикуляр йуналгандир. Сатд сиртига перпендикуляр 
йуналишдаги узунлик бирлигида потенциал узгаришини л'опиб, 
кучланганликнинг сон цийматини досил циламиз:
V2
Кучланганлик потенциалнинг камайиш томонига 
йуналган. Шундай цилиб, потенциали маълум бул­
ган иккита текислик орасидаги майдон кучланган­
лиги бу текисликлар потенциаллари айирмасига 
тугри пропорционал ва улар орасидаги масофага 
тескари пропорционалдир.
Майдон бир жинсли булмаганда унинг бирор нуцтасида- 
ги Е  кучланганликнинг алгебраик катталигини Дп чексиз ка- 
A V
майганда —
(
2
)
v, a h
Т
А п
нисбат интиладиган лимитга тенг деб оли-
шимиз керак:
( A V \  
lim ( — )
. | 
дп-»о'Аи
ёк и дифференциал дисоб белгиларидан фойдалансак,
d V  
d n
41- раем. З а ­
рядланган 
иккита т е ­
кислик.
(2а)
Вектор дисобида ишлатиладиган градиент  тушунчасидан фойдаланамиз. 
С скал яр х , у, z  координаталарнинг функцияси сифатида берилган булсин. 
g rad С деб шундай А вектор назарда тутиладики, бу векторнинг тугри 
бурчакли координаталар системасининг уцлари буйлаб йуналган А х , А у , А г 
ташкил этувчилари
А х - д х
А
Л У ~ ду
А — —
~ dz
(
3
)
м ун осабатлар билан аницланади. Бу вектор д а р бир нуцтада С ск аляр с ат­
ди сиртига утказилган нормаль буйлаб С нинг ортиш томонига йуналгандир. 
Унинг узунлиги d C / d n  га тенг. Градиент тушунчаси ёрдамида (2а) тенглик- 
ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
d V
= ~ д х ' 
Е У
dV_ 
ду ’
Е
~~ 
dz
(4>
Е = — g rad V.
(4а)
Шундай цилиб, Е кучланганлик вектори V  потенциалнинг тескарй ишо­
ра билан олинган градиентига тенг экан.

---

1- м и с о л. Диполь уцида дип олнинг уз улчамларига нисбатан катта г  
масоф ада майдон кучланганлигини аницлаймиз.
Бу масалани 124- § да бевосита ечган эдик. Майдон кучланганлиги ва 
потенциал орасидаги (2а) муносабатдан фойдаланиб, энди соддароц йул 
билан ечамиз. А нуцтадаги потенциал (12- раем) -)- q ва — q зарядлар ву­
жудга келтирган потенциаллар йигиндисига тенгдир:
V  :
+
Я
г_
г_
/
г+ ва г _  масофалар I дан анча кат та булганда тацрибан г + - г _ = г 2 була­
ди, бундан
ql 
р
У — ,-а —
Г2 '
бунда р  — диполь моменти.
Эквипотенциал сиртга А  нуцтада утказилган п нормалнинг йуналиши г  
билан устма-у ст тушади, демак, (2а) формулага кура
Е — ~ d r ~ г*
булади, бу 124- § даги (5) формула билан бир хилдир.
132- §. К у ч л а н г а н л и к , п о т е н ц и а л з^амда д а ж м и й з а р я д л а р з и ч л и г и
о р а с и д а г и бо р л а н и ш . Электростатик майдон кучланганлиги билан зар я д ­
ларнинг тацеимланиш зичлиги узар о маълум дифференциал муносабат воси- 
тасида борланган булиб, бу му носабат майдоннинг дар бир нуцтаси учун 
уринлидир. Бу муносабагни О строградский — Гаусс теоремасини янада чу-
цурроц анализ цилиб топиш мумкин.
Текширилаётган содада заряд, умуман 
айтганда, доимий булмаган р дажмий зич- 
ликда тацеимланган деб ф ар аз цилайлик. 
Киррал ар и координата уцларига параллел 
ва d x , dy, d z  га тенг булган элементар 
куб ажратиб оламиз (42- раем). Кубнинг^ 
дажми d x d y d z  га тенг булади. Куб ки-' 
чик булгани сабабли унинг ичидаги барча 
нуцталарда р зар я д зичлигини доимий де- 
йиш мумкин: у долда куб ичидаги q заряд 
р d x d y d z  га тенг булади. Куб маркази- 
даги (42- раемда юлдузча билан курсатил- 
ган) майдон кучланганлигини 
Е билан, 
унинг ташкил этувчиларини эса Е х , Е у , Е г 
билан белгилаймиз.
Бунда 1 ёцдаги Е х  ташкил этувчининг 
циймати:
42- раем. Майдон кучланганли­
гини дажмий зарядларнинг зич­
лиги билан богловчи ифодани 
чицаришга дойр.
'*1
дЕ х
Ох
1