С. Э. Фриш ва а. В. Тиморева

А = Яо
 (*?> - П 1}) +
Чо
 ( ^ 2) - П 2)) + - +
Чо
 (
У[п) - V f ) .
Бу ифодани бошкача куринишда ёзиш мумкин:
А = Яо
 [ № +
V[2) +
... +
V[n)) -
(П 1’ + ^ 2) + - +
Щп)) Ь
Олинган нуктадаги барча потенциалларнинг алгебраик йигин- 
дисини V  дарфи билан белгилаймиз:
V V + V p + . . . +
= Vu |
V!» +■ l/<2> + ... + VW = l/2, j 
(7)
У долда иш куйидагига тенг булади:
А = Яо(У\ - V 2), 
(
8
)
яъни А ишни сон жидатдан Яо заряд катталиги дамда V  функ­
циянинг 1 ва 2 нукталардаги кийматлари айирмасининг ку- 
пайтмаси билан ифодалаш мумкин. Бундаги 1 ва 2 нукталар 
мос равишда йулнинг бош ва охирги нукталаридир. Демак, V  
функция барча qx, q2, ..., qn зарядларнинг шу нуктада вужуд­
га келтирган потенциали экан. (7) ифодага кура нуцтавий,
I
• Ч з
42*
34- раем. q u q2, . . . , q n з а ­
рядлар системаси майдони­
да 
зарядни кучириш.
ишини (
6
) 
га кура

---

зарядлар системасининг V пот енциала алодида зарядлар­
нинг V a), V [l), 
V in) пот енциаллари алгебраик UtiFUHducu- 
га тенгдир.
Зарядланган дар кандай системани чексиз кичик зарядлар­
га булиш мумкин. Бу зарядларни зарядланган системадан таш- 
царидаги нуцталар учун нуктавий зарядлар дейиш мумкин. 
Шундай цилиб, юцорида айтилганларга мувофик, зарядланган' 
дар кандай системанинг узидан танщарида вужудга келтирган 
потенциали дакида гапнрса булади. Агар система чекли сиртий 
зичлиги ёки дажмий зичлиги билан зарядланган булса, потен­
циал тушунчасини системанинг ^з нукталари учун дам умум- 
лаштириш мумкин. Потенциал тушунчасини бундай умумлаш- 
тириш электр майдоннинг умумий назариясида берилади.
Потенциалнинг физик маъноси устида дам тухталиб утай- 
лик. (
8
) формуладан электростатик майдоннинг икки нуктаси- 
даги потенциаллар айирмаси сон жидатдан зарядни бир нук­
тадан иккинчи нуктага кучиришда майдон кучлари бажарган 
ишнинг кучирилаётган заряд катталигига нисбатига тенгдир:
Агар <
70
= + 1 деб олсак, у долда икки нуцтадаги пот ен­
ц и а л л а р
айирмаси майдон куч ларининг 
мусбат бирлик 
зарядни б арит а нуцт адан и к к и т а нуцт ага кучиришда ба­
ж арган иши б илан улчаниш ина курамиз.
(9) муносабатдан потенциаллар айирмасининг улчов бирли- 
гини аниклаймиз. CGSE системада потенциаллар айирмаси 
бирлиги учун шундай икки 
нукта орасидаги потенциаллар 
айирмаси олинадики, бирлик зарядни бу нукталар орасида ку­
чиришда бир эрг иш бажарилади. Бу бирлик потенциаллар 
айирмасининг электростатик бирлиги дейилади. Бирликларнинг 
Халкаро системасида потенциаллар айирмаси бирлиги килиб 
икки нукта орасидаги потенциаллар айирмаси олинади. Бунда 
бир кулон зарядни кучиришда бир жоуль иш бажарилади. 
Потенциаллар айирмасининг бу бирлиги вольт деб аталади. 
Тахминан 
1 а : = 3 1 0 °
CGSE булганлиги учун; худди шундай 
аниклик билан:
1
вольт = Tjjijy электростатик потенциаллар айирмаси бир­
лиги.
Потенциаллар айирмасининг CGSE системадаги улчамлиги 
(9) муносабатдан досил килинади:
M L - T - -

---

(9) муносабат зарядларнинг кучиришда бажарилган иш би­
лан потенциаллар айирмаси орасидаги богланишнигина ифо- 
далашига эътиборни жалб циламиз. Шунинг учун дам нуцта­
вий заряднинг потенциали учун (5) формулага мувофиц чексиз 
куп сондаги функцияларни олишимиз 
мумкин. Бу функ- 
циялар бир-биридан С аддитив доимий билан фарц цилади. С 
ни турлича танлаганда дам потенциаллар айирмаси узгаР" 
майди.
Шундай цилиб, С доимийни ихтиёрий танлаш мумкин. 
С = 0 булганда энг содда дол булади; у долда q нуцтавий 
заряднинг узидан г узоцликда булган нуцтадаги потенциали 
цуйидагига тенг булади:
V = ± .  
(5а)
Таърифига кура потенциал скаляр катталикдир. Аддитив 
доимий С = О цилиб олинганда нуцтавий заряд потенциали- 
нинг физик маъноси бундай булади: майдоннинг бирор нуц- 
тасининг пот енциали сон ж идатдан бирлик мусбат зарядни 
шу нуцт адан пот енциали нолга тенг б улган чексиз узоц- 
ликдаги нуцт ага кучиришда майдон кучларининг бажарган 
ишига тенгдир. Дацицатан дам, бирлик зарядни майдоннинг
бирор нуцтасидан заряддан чексиз узоцликда булган 
нуцтага
кучиришда бажарилган иш цуйидагича булади:
А = » £ — £ —
L — ±
0 
q 0 
г  
оо 
t ’
Зарядларнинг мураккаб системаси билан иш курилаётган 
булса, потенциал ифодасига кирувчи ихтиёрий доимийнинг 
цийматини шундай танлаш керакки, системадан чексиз узоцда 
ётган нуцталарнинг потенциали нолга тенг булсин1. Бунда май­
доннинг бирор нуцтасининг потенциали сон жидатдан бирлик 
зарядни шу нуцтадан чексизликка кучиришда зарядга таъсир 
этувчи майдон кучларининг бажарган Л
0
ишига тенгдир. По­
тенциаллар айирмасини аницлаш керак булган одатдаги ама- 
лий долларда шартли равишда ер сирти потенциалини ноль 
деб олиш цулай булади.
Энди Е кучланганлик билан характерланувчи ихтиёрий электростатик 
майдонда q0 зарядни кучириш дек умумий долни курамиз. Чексиз кичик ку ­
чиришда
dA — f  cos a d s
иш баж арилади.
1 
Агар зарядланган системанинг улчамлари чекли булса, ихтиёрий дои - 
мийни дамма вакт шундай танлаш мумкин.

---

*
f = d A  иш ифодасини куйида­
ги куринишда ёзамиз:
d A — q0 E  cos a ds.
Лекин Е  cos а кучланганлик вектори Е  нинг шу нуцтада йулга утк ази л ­
ган уринма йуналишига проекциясиди р (35- раем). Бу проекцияни E s билан 
белгиласак,
d A — q0E s ds.
d A  нинг ифодасини интеграллаб йулнинг чекли 
цисмида баж арилган А  ишни досил циламиз:
в
А — 
f 
E s ds,
А
бунда интеграл йулнинг бошлангич А нуцтасидан 
охирги В  нуцтасигача 
булган 
чегарада олинган. 
Айтилганларга кура, бу иш сон жидатдан q0 заряд 
катталигини Л ва Л нуцталардаги потенциаллар ай ирмасига купайтирилга- 
нига тенгдир, бундан:
в
| q0 E s d s — q0 ( V A — V B ).
A
q0 зарядни, доимий катталик булгани учун, интеграл ишораси остидан 
чицариб ва 
га цисцартириб, цуйидагини ^осил циламиз:
в
| E s d s — V А — V в .
А
Б е р к йул учун 
VА — VB ва, демак,
j" E s d s  = О,
s
бунда иптеграллаш бутун берк контур буйича бажарилган.
j £ , d s контур интеграл ^
йигиндининг лимитидан 
иборатдир.
Бу 
й и р и н д и
A s  элементлар нолга интиладн ва бу элементларнинг сони чек­
сиз ортади деган шарт билан берк контурнинг бар ча A s  элементлари буйи­
ча олинган. 
Бундай 
интеграл 
электростатик кучланганлик 
векторининг 
циркуляцияси дейилади. ( 10) формула электростатик майдонда электр куч- 
ларнинг берк йулда бажарган иши нолга тенг эканлигининг м атематик ифо- 
дасидир. Э лектростатик кучланганлик векторининг циркуляцияси нолга тенг. 
Кучларнинг берк йулда баж арган иши нолга тенг булган майдон потенциал 
майдон дейилади, шу сабабли ( 10) ифода электростатик майдонининг по­
тенциал характерда эканини курсатади, дейиш мумкин.