2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari.
Ikkinchi tur egri chiziqli integralllar qator xossalarga ega . Quyida integralning asosiy xossalarini keltiramiz.
10 Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar intergallash egri chizig'ining yo'nalishiga bog'liq bo'ladi.
,
20 Agar egri chiziq OX o'qiga yoki OY o'qiga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq kesmasidan iborat bo'lsa , u holda
yoki
30 Agar funksiya da intervallanuvchi bo'lib, + = bo'lsa
bo'ladi.
40 Agar funksiya da intervallanuvchi bo'lsa, u holda
bo'ladi. Bunda k-const.
50 Agar va funksiyalar da intervallanuvchi bo'lsa, u holda
1-misol. Ushbu
integralni hisoblang. Bunda, egri chiziq (0,0) nuqtadan chiqib (0,0) , (1,0), (1,1) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq . Integralning 3-xossasiga ko'ra
bo'ladi. bunda (0,0) va (1,0) nuqtalarni esa (1,0) va (1,1) nuqtalarni birlashtiruvchi to'g'ri chiziq kesmalaridan iborat.
2-xossasiga ko'ra esa da y=0 va kesma OY o'qiga perpendikulyar bo'lganligi sababli
bo'ladi.
kesmada x=1 va y esa OX ga perpendikulyar bo'lganligi sababli
bo'ladi. Demak,
.
2-misol. Ushbu
integralni hisoblang . k bunda O =(0,0) , A=(2,1) nuqtalarni birlashtiruvchi to'g'ri chiziq kesmasi hamda parabola yoyidan tashkil topgan egri chiziq.
Integral xossasiga ko'ra :
kesmada x=2y bo'lib , (7) formulaga ko'ra
bo'ladi.
yoyida esa x= bo'lib, yana (7) formuladan topamiz:
bo'ladi. Demak,
3-misol. Ushbu
integralni hisoblang . Bunda k-uchlari A=(1,0), B=(0,1), C=(-1,0), D=(0,-1) nuqtalarda bo'lgan kvadratning konturidan iborat.
Integralning xossasidan foydalanib topamiz:
Endi bu tenglikning o'ng tomonidagi integrallarni alohida alohida hisoblaymiz.
da x+y=1, bo'lib , dx+dy=0 bo'ladi. Shuning uchun yuqoridagi tenglikning o'ng tomondagi birinchi integral 0 ga teng:
da y-x=1, bo'lib, dx=dy hamda , bo'ladi. B dan C nuqtagacha BC bo'yicha kelishda x o'zgaruvchi 0 dan -1 gacha o'zgaradi. Shuni e'tiborga olib topamiz:
CD da x+y=-1 , bo'lib , dx+dy=0 ekanligini e'tiborga olsak,
bo'ladi.
da y-x=-1 bo'lib, dy=dx hamda bo'ladi. D nuqtadan A nuqtaga bo'yicha kelishda x 0 dan 1 gacha o'zgaradi. Shuning uchun
bo'ladi. Demak,
Do'stlaringiz bilan baham: |