S. V. Kovalevskiy: "Qalban shoir boʻlmagan kishi hech qachon matematik boʻlolmaydi". M. I. Lobachevskiy: "Hamma gapiradigan aniq til matematikadir". R. Dekart: "Kim matematikani bilmasa, haqiqatni bilmaydi. Kim matematikan

4-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning tadbiqlari.
Endi ikkinchi tur egri chiziqli integralning ba'zi bir tadbiqlarini ko'rib chiqamiz. Biz ikkinchi tur egri chiziqli integrallardan tekis shakllarning yuzini hisoblashda , kuch ta'sirida bo'lgan maydonda bajarilgan ishni topishda foydalanamiz.
Endi har bir tadbiqini alohida-alohida misollar yordamida ko'rib o'taylik.
1^o. Tekis shaklning yuzini topish.
Tekislikda biror yuzaga ega bo'lgan shakl berilgan bo'lsin. Uning chegarasi to'g'irlanivchi yopiq chiziqdan iborat. Bu shaklning yuzi D ikkinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida topiladi. Buning uchun biz quyidagi formulalardan foydalanamiz.
,
(10)
7-misol. Ushbu
(11)
ellips bilan chegaralangan shaklning yuzini toping.
Bu shaklning yuzi (10) formulaga ko'ra

bo'ladi . Bunda - egri chiziq (11) ellipsdan iborat.
Endi egri chiziqli integralni (7) formuladan foydalanib hisoblaymiz.



8-misol. Ushbu

chiziq (Dekart yaprog'i) bilan chegaralangan shaklning yuzini toping.

Avvalo berilgan chiziqning parametric ko'riishdagi tenglamasini yozamiz. Buning uchun

belgilash kiritamiz, bunda t-parametr. Unda

bo'ladi. Natijada chiziqning ushbu

parametrik ko'rinishdagi tenglamalariga kelamiz. Izlanayotgan shaklning yuzi (10) formulaga ko'ra

bo'ladi. Bunda

chiziqdan iborat.
(7) formuladan foydalanib, egri chiziqli integralni hisoblaymiz:




2^o Bajarilgan ishni topish.
Tekislikda to'g'irlanuvchi biror egri chiziq berilgan bo'lsin. Bu egri chiziqdagi moddiy nuqtani ushbu

o'zgaruvchi kuch ta'sirida A nuqtadan B nuqtaga o'tkazishda bajargan ishi quyidagi formula orqali topiladi:
. (12)