Samarqand davlat universiteti matematika fakulteti amaliy matematika yo

Kvadrat tenglama deb ax²+bx+c=0 ko'rinishdagi tenglamaga aytiladi, bunda a, b, c - berilgan sonlar, ≠ 0, esa noma'lum.
Kvadrat tenglamaning , , koeffitsiyentlari odatda bunday ataladi: -birinchi yoki bosh koeffitsiyent, -ikkinchi koeffitsiyent, -ozod had. Masalan, 3x²+4x-6 =0 tenglamada bosh koeffitsiyent 3, ikkinchi koeffitsiyent 4, ozod had -6 ga teng.
Matematika, fizika va texnikaning ko'pgina masalalarini yechish kvadrat tenglamani yechishga keltiriladi.
Kvadrat tenglamaga yana misollar keltiramiz:
-5x²+12x-4=0, (a=-5 , b=12, c=-4) , 6t²-11t+2=0 (a=6, b=-11, c=2),
Ko'pgina masalalarni yechishda algebraik shakl almashtirishlar yordamida kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar hosil bo'ladi.
2- masala. Tenglamani yeching: x²=64 .
64 ni chap qismga olib o'tamiz va kvadrat tenglamani hosil qilamiz: x²-64=0 .
Chap qismni ko'paytuvchilarga ajratamiz: (x-8)(x+8)=0
Demak, tenglama ikkita ildizga ega: x₁=8; x₂=-8,
x²=64 englamaning birinchi ildizi 64 sonining arifmetik ildizi, ikkinchisi esa unga qarama-qarshi son ekanini ta'kidlaymiz: x₁=8 ; x₂=-8,
x²=64 tenglama har qanday kvadrat tenglama keltirilishi mumkin bo'lgan x²=d tenglamaning xususiy holidir.
T eorema. x²=d tenglama, bunda d>0, ikkita ildizga ega:
d ni tenglamaning chap qismiga olib o'tamiz: x²-d=0. d>0

b o'lgani uchun arifmetik kvadrat ildizning ta'rifiga ko'ra Shuning uchun tenglamani bunday yozish mumkin:

B u tenglamaning chap qismini ko'paytuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:
b undan
Masalan, tenglama ildizlarga ega; x²=3 tenglama
i ldizlarga ega; x²=8 tenglama ildizlarga ega.
Agar x²=d tenglamaning o'ng qismi nolga teng bo'lsa, u holda x²=0 tenglama bitta ildizga ega: x=0.
Agar d<0 bo'lsa, u holda x²=d tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, chunki haqiqiy sonning kvadrati manfiy son bo'lishi mumkin emas. Masalan, x²=-5 tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.
M isollar: Tenglamaning ildizlarini toping:
1) 2)
3)
Endi umumiy ko'rinishdagi kvadrat tenglamani qaraymiz: ax²+bx+c=0, bunda a≠0. Tenglamaning ikkala qismini ga bo'lib, kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning shaklini shunday almashtiramizki, uning chap qismida ikkihadning to'la kvadrati hosil bo'lsin:
.
(4) Agar b²-4ac≥0 bo'lsa, u holda
Bundan yoki (1)
(1) formula umumiy ko'rinishdagi kvadrat tenglama ildizlari formulasi deyiladi.
D =b²-4ac ifoda ax²+bx+c=0 kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.
(1) formulada ko’ramizki, kvadrat tenglama:
1 ) D>0 bo’lsa, va — ikkita turli ildizga ega,
2 ) D=0 bo’lsa, = = bitta ildizga ega;
3) D<0 bo’lsa, haqiqiy ildizlarga ega emas qo’shma kompleks ildizlarga ega).
Kvadrat tenglama yechimlarini tenglama koeffitsiyentlariga nisbatan tekshirish jadvalini ko’rsatamiz:

1	+	+	+	+	-	-
2	+	+	-	+	+	+
3	+	+	+	-	-	+		|x1|>|x2|
4	+	+	-	-	-	+		|x1|<|x2|
5	0	+	+	+	-	-		x1=x2
6	0	+	-	+	+	+		x1=x2
7	-	+	+	+	Haqiqiy yechim mavjud emas		Qo’shma kompleks yechim
8	-	+	-	+	Haqiqiy yechim mavjud emas		Qo’shma kompleks yechim
9	+	+	+	0	0	-
10	+	+	-	0	0	+
11	+	+	0	-	+	-
12	-	+	0	+	Haqiqiy yechim mavjud emas		Qo’shma kompleks yechim
13	0	+	0	0	0	0		x1=x2

da ham shunday jadval tuzish mumkin.
Agar a*c<0 bo’lsa, kvadrat tenglama haqiqiy yechimlarga ega bo’ladi.
Agar kvadrat tenglama koeffitsiyentlari haqiqiy sonlar bo’lib, d≥0 bo’lsa, u holda tenglama ildizlari ham haqiqiy son bo’ladi.
Agar kvadrat tenglamadagi va koeffitsiyentlarning o’rnini almashtirsak, teskari sondagi ildizlar hosil bo’ladi.
Agar tenglamadagi koeffitsiyent ishorasini teskari ishoraga o’zgartirsak, oldingi tenglama ildizlariga teskari ishorali ildizlar hosil bo’ladi.
Agar D>0 bo’lib, arifmetik kvadrat ildizi irratsional son bo’ladigan bo’lsa, u holda tenglamaning bitta ildizi irratsional son bo’lib, ikkinchi ildizi unga qo’shma irratsional son bo’ladi.
Bundan tashqari tenglama ildizlarining ayrim xossalarini ham keltirib o’tamiz:
1) Tenglamaning ildizlari yig’indisi ga teng.
bo’lgani uchun ularni qo’shib ko’ramiz.
2 ) Tenglamaning ildizlari ko’paytmasi ga teng.

=
3) 4) 5) 6)
Quyida keltirilgan xossalarni ham 1) va 2) xossalar kabi isbotlashimiz mumkin. Ularni sizlarni o’zingiz mustaqil bajarib ko’rish qoldiramiz.
9- masala. Tenglamani yeching:
Bu yerda a =6, b =1, c =-2. (1) formula bo'yicha quyidagilarni topamiz:

B undan

Javob:

10- masala. 4x²-4x+1=0 tenglamani yeching.
Bu yerda a =4, b =-4, c =1. (1) formula bo'yicha quyidagilarni topamiz:

Javob: x=0,5
11- masala. x²-4x+5=0 tenglama haqiqiy ildizlarga ega emasligini isbotlang.
Bu yerda a=1,b=-4, c=5, (-4)²-4*1*5=-4<0
Demak, berilgan tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.
12- masala. 2x²+3x+4=0 tenglamani yeching.
(1) formula bo'yicha quyidagiga ega bo'lamiz:

Ildiz belgisi ostida turgan son manfiy: 9-4*4*2=-23<0
Javob: Tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.
B a’zi to’la kvadrat tenglamalarni Viyet teoremasi yordamida yechish o’quvchilarga juda qulaylik tug’diradi. Lekin kvadrat tenglamaning ildizlarini og’zaki topishda doimo Viyet teoremasidan foydalanishning imkoni bo’lmaydi. Masalan, agar kvadrat tenglama kasr ildizlarga ega bo’lsa, yig’indisi va ko’paytmasi ga teng bo’lgan ikkita kasr sonni topish oson bo’lavermaydi.
Bu qiyinchiliklarni yechish uchun yordamchi (ildizlari butun sonlar bo’lgan) kvadrat tenglama ildizlarini topishga keltirish mumkin.
tenglamani yechish kerak bo’lsin. Viyet teoremasiga ko’ra

va bo’ladi. Bu tenglamaning ikkala qismini ham a ga ko’paytiramiz:

belgilashni kiritib, tenglamani hosil qilamiz. Bundan ya’ni hamda

D emak , kvadrat tenglamani yechish uchun yordamchi tenglamani yechish va uning ildizlarini a ga bo’lish lozim bo’ladi.

M asalan,1) ikkala ildizni 3 ga bo’lamiz va quyidagi ildizlarni hosil qilamiz:
2 )
ikkala ildizni 7 ga bo’lamiz va quyidagi ildizlarni hosil qilamiz:
3 ) ikkala ildizni 8 ga bo’lamiz va quyidagi ildizlarni hosil qilamiz:

Biz kvadrat tenglamalarni, trigonometrik tenglamalarni va boshqa shu kabi tenglamalarni yechish qoidalarini yaxshi o’rgandik. Ammo hayotda shunday tenglamalar uchraydiki, ularni yechish uchun hech qanday qoidalar mavjud emas. Bunday tenglamalar nostandart tenglamalar deyiladi. Har bir nostandart tenglama uchun o’ziga xos yechim ishlab chiqishga to’g’ri keladi. Bu usullar bilan biz ta’limning keyingi bosqichlarida tanishib chiqamiz.