Самостоятельная работа-5 Студент: 3 курс Группа: ки-12-20(С)(Р)

Проверка UC-гипотезы.

Тесты VaR на основе анализа частоты пробоев.

Наиболее простой и интуитивно понятной группой методов бэк-тестинга VaR является тестирование расчетного лимита VaR на предмет частоты пробоев. Кристофферсен предложил статистический тест для оценки VaR на основе биномиального распределения (биномиальный тест). С помощью данного теста оценивается нулевая гипотеза:

где E — математическое ожидание.

Рассмотрим последовательность случайных величин  характеризующих пробои VaR.

Пусть Н — общее количество пробоев, произошедших за рассматриваемый период: Если пробои рассматриваются как случайные величины It(α), которые независимы и одинаково распределены, то случайная величина количества пробоев VaR имеет биномиальное распределение:


D — дисперсия.
Для больших T биномиальное распределение может хорошо аппроксимироваться нормальным, и для тестирования может использоваться следующая статистика (Z-тест):

где N — тест на нормальность распределения (проверка гипотезы: да (1) или нет (0)).

Еще один вариант тестирования UC-гипотезы — тест отношения правдоподобия. В данном тесте UC-гипотеза тестируется с помощью следующей статистики отношения правдоподобия:

Если истинна uc-гипотеза, то статистика LRuc асимптотически сходится к распределению хи-квадрат с одной степенью свободы. Логика теста отношения правдоподобия основана на следующем факте: если наблюдаемая частота пробоев VaR близка к заданному вероятностному уровню VaR, то статистика отношения правдоподобия близка к квадрату нормально распределенной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1.
Функция LRuc(H) имеет глобальный минимум в точке H = αT : LRuc(αT). Чем ближе значение наблюдаемой статистики к значению H0 = αT, тем меньше вероятность отвергнуть UC-гипотезу. Если построенная модель верно оценивает риск, то наблюдаемая ex post вероятность (частота) пробоев уровня VaR должна быть очень близка к вероятностному уровню VaR, т.е. к α. Наблюдаемая же вероятность пробоев уровня VaR рассчитывается как отношение , что в итоге и дает требуемое равенство.

Следует заметить, что функция LRuc(H) асимметрична относительно H0 = αT, что приводит к асимметричности интервалов значений статистики Н, при которых UC-гипотеза не отвергается. Табл. 1 содержит рассчитанные границы интервалов, в пределах которых UC-гипотеза не отвергается на заданном уровне значимости для выборки заданного размера.

Заметим, что LR-статистика более чувствительна к недооценке риска, поскольку интервал, на котором UC-гипотеза не отвергается, несимметричен и сдвинут вправо (на рис. 2 пунктирными линиями показаны критические значения для заданных вероятностных уровней). Таким образом, при большой выборке достаточно меньшего отклонения наблюдаемого значения Н от центрального значения H0 = αT в левую сторону, для того чтобы отвергнуть UC-гипотезу (по сравнению с отклонением в правую сторону). Это говорит о консерватизме LR-теста: с ростом отклонения от центрального значения в левую сторону (т.е. при недооценке риска) LR-статистика растет быстрее.