Санкт-петербург-москва краснодар

Балки


39


Mi даст числовую величину изгибающего момента в сечении /, когда груз Р = 1 расположен над этой ординатой. Следовательно, чтобы получить числовую величину изгибающего момента в сечении / при заданном поло­жении груза Р = 1, надо измерить ординату лпнпп влияния Mj под гру­зом. Отметим, что линия влияния Mj дает закон изменения момента толь­ко для сечения I. Чтобы получить закон изменения изгибающего момента в каком-либо другом сеченпп, надо для этого сечения построить свою линию влияния.
Построим теперь линию влияния поперечной силы, возникающей в се­ченпп I. Поперечная сила, действующая в данном сеченпп, равна алгебра­ической сумме проекций внешних левых сил (плп правых сил с обратным знаком) на нормаль к осп балки [см. выражение (2.1)]. Рассмотрим два положения груза Р = 1.

1. 
   Груз расположен правее сечения /, т. е. .г < Ь (см. рпс. 2.7а). Рассматривая левую часть, находим
   

Qi = Ra = x/l.
Для построения графика этого уравнения вычислим два значения Qj: при .г = О Qi = 0; при х = Ъ Qi = Ъ/1.
По этим данным строим правую прямую лпнпп влияния Qj (см. рпс. 2.7 е).

2. 
   Груз расположен левее сечения /, т. е. х ^ Ь (см. рпс. 2.7 6). Рассматривая правую часть балки, получаем Qi = —Rb (хотя реакция Rb направлена вверх, но так как мы рассматривали правую часть, то Rb входит в выражение поперечной силы с обратным знаком [см. выраже­ние (2.1 )]). Так как R_B = (I — х)/1, то Qi = — (I — х)/1.
   

Вычислим два значения Qj:
при х = Ъ Qi = —{I — Ъ)/1= —а/1;
при x = l Q_I = -(l-l)/l = 0.
По этим данным на рпс. 2.7 е построена левая прямая линии влияния Qi (так как ординаты отрицательны, то откладываем пх вниз). Если про­должить прямые, ограничивающие линию влияния Qi, до опор, то по­лучим под левой опорой ординату +1, а под правой опорой — ордина­ту —1. Убедиться в этом можно, подставив в первое нз уравнений для Qi значение х = I, а во второе — значение .г = 0. Поэтому линия влия­ния Qi может быть построена так, как это сделано на рпс. 2.7 ж. На ле­вой опорной вертикали откладываем вверх ординату +1, на правой опор­ной вертикали откладываем ординату —1 (вниз) н пх вершины соединяем

38

Г лава 2


т. е. при х ^Ъ. Когда груз расположен левее сечения / (рпс. 2.7 б), т. е. при х ^ Ъ, для определения изгибающего момента в сеченпп удобнее рассмат­ривать правую часть балки. Тогда Mj = +НвЪ (момент реакции Rb отно­сительно сечения /, действующий против хода часовой стрелки, является отрицательным, но вызывает положительный изгибающий момент, так как рассматривается правая часть балки [см. выражение (2.2)]). Подставив в выражение для Mj = +ДдЬ значение реакции Rg [см. выражение (2.5)], получим i _ _х
^{Ml =} I ^Ъ'
Для построения графика этого выражения вычислим два значения Mj:
при х = Ъ Mi = [(7 — Ъ)/1]Ь = аЪ/1; при х = 1 М/ = [(I — 1)/1\Ъ = 0.
По этим данным строим прямую, называемую левой прямой линии вли­яния Mi (рпс. 2.7 г); ее ординаты дают значения изгибающего момента в сеченпп /, когда груз Р = 1 расположен слева от этого сечения, т. е. когда X меняется в пределах от b до I *.
Если теперь обе части лпнпп влияния (рпс. 2.7в,г) соеди­нить (рпс. 2.7 <Э), то обе прямые (правая н левая), ограничивающие линию влияния, пересекутся под сечением I.
Если продолжить прямые, ограничивающие линию влияния Mi до вертикалей, проведенных через опоры А н В, то эти прямые отсекут на левой опоре ординату а, на правой — Ъ (рпс. 2.7д). Это можно доказать подстановкой в уравнение М/ для правой части балки значения х = I, а для левой части .г = 0. Поэтому практически линию влияния Mj ча­сто строят следующим образом: на левой опорной вертикали откладыва­ют вверх ординату, равную в принятом масштабе расстоянию от сечения / до левой опоры, н проводят прямую через вершину этой ординаты п ну­левую точку на правой опоре; на правой опорной вертикали откладывают вверх ординату, равную расстоянию от сечения / до правой опоры, н прово­дят прямую через вершину этой ординаты п нулевую точку на левой опоре. Проведенные таким образом прямые пересекаются под сечением I.
Можно рекомендовать п следующий прием построения лпнпп влияния M[\ сначала построить одну пз прямых, например правую, а затем для построения левой прямой соединить нулевую точку левой опоры с точкой правой прямой, расположенной под сечением I. Ордината лпнпп влияния


* Положительные ординаты линий влияния откладываем вверх. Таким образом, ординаты линии влияния изгибающего момента, отложенные над осью балки, означают, что этот момент вызывает растяжение нижних волокон балки.

Балки

39


Mi даст числовую величину изгибающего момента в сечении /, когда груз Р = 1 расположен над этой ординатой. Следовательно, чтобы получить числовую величину изгибающего момента в сечении / при заданном поло­жении груза Р = 1, надо измерить ординату линии влияния Mi под гру­зом. Отметим, что линия влияния Mi дает закон изменения момента толь­ко для сечения I. Чтобы получить закон изменения изгибающего момента в каком-либо другом сечении, надо для этого сечения построить свою линию влияния.
Построим теперь линию влияния поперечной силы, возникающей в се­чении I. Поперечная сила, действующая в данном сечении, равна алгебра­ической сумме проекций внешних левых сил (или правых сил с обратным знаком) на нормаль к оси балки [см. выражение (2.1)]. Рассмотрим два положения груза Р = 1.

1. 
   Груз расположен правее сечения /, т. е. х < Ь (см. рис. 2.7 а). Рассматривая левую часть, находим
   

Qi = Ra = x/l.
Для построения графика этого уравнения вычислим два значения Qi: при х = 0 Qi = 0; при х = Ъ Qi = Ь/1.
По этим данным строим правую прямую линии влияния Qi (см. рис. 2.7 е).

2. 
   Груз расположен левее сечения /, т. е. х ^ Ъ (см. рис. 2.7 б). Рассматривая правую часть балки, получаем Qi = —Rb (хотя реакция Rb направлена вверх, но так как мы рассматривали правую часть, то Rb входит в выражение поперечной силы с обратным знаком [см. выраже­ние (2.1)]). Так как R_B = (I — х)/1, то Qi = —(I — х)/1.
   

Вычислим два значения Qi:
при х = Ь Qi = —{I — Ъ)/1= —а/1]
при х = 1 Qi = —(l — l)/l = 0.
По этим данным на рис. 2.7 е построена левая прямая линии влияния Qi (так как ординаты отрицательны, то откладываем их вниз). Если про­должить прямые, ограничивающие линию влияния Qi, до опор, то по­лучим под левой опорой ординату +1, а под правой опорой — ордина­ту —1. Убедиться в этом можно, подставив в первое из уравнений для Qi значение х = I, а во второе — значение х = 0. Поэтому линия влия­ния Qi может быть построена так, как это сделано на рис. 2.7 ж. На ле­вой опорной вертикали откладываем вверх ординату +1, на правой опор­ной вертикали откладываем ординату —1 (вниз) и их вершины соединяем

40

Глава 2


с нулевыми точками левой и правой опор. Проведенные таким образом две прямые параллельны. После этого сносят сечение / так, как это показано на рис. 2.7 ж.
Линия влияния Qi в сечении / имеет скачок — разрыв. Ординаты ли­нии влияния поперечной силы — величины отвлеченные. Поэтому мас­штаб этих ординат будет такой же, как и для опорных реакций. Ордината линии влияния Qi дает числовую величину поперечной силы в сечении /, когда груз Р = 1 расположен над данной ординатой. Следовательно, чтобы получить числовую величину поперечной силы в сечении / при за­данном положении груза Р = 1, надо измерить ординату линии влия­ния Qi под грузом.
Если ордината под грузом отрицательна, то это значит, по­перечная сила в сечении / при данном положении силы Р = 1 отрицательна. Ординаты линии влияния Qi характеризуют изме­нение поперечной силы только для сечения I. Чтобы получить закон изменения поперечной силы в каком-либо другом сечении, надо для этого сечения построить свою линию влияния.


а)


б)
Л.1


■ Ml


Л6М/


р= 1


/


р=1





&


ft


Построим линии влияния момен­та и поперечной силы в сечении / для защемленной балки, изображенной на рис. 2.8 а. Первоначально рассмотрим линию влияния М/. Рассмотрим два положения груза.

1. 
   Груз левее сечения / (на рис. 2.8 а он показан сплошной линией)
   

Mi = 0.

2. 
   Груз правее сечения / (на рис. 2.8 а он показан штриховой линией)
   

Mi = —1 ■ xi = —xi,


Рис. 2.8
где х\ — расстояние от груза до сечения /;
при xi = 0 Mi = 0;
при х\= a Mi = —Ъ.
Соответствующая линия влияния показана на рис. 2.8 б.
Для построения линии влияния поперечной силы в сечении /, аналогич-
но предыдущему, рассмотрим два положения груза:
1. Груз левее сечения


Qi


0


(так как слева нет никаких сил).

< ^		/		-		г
1*11
нш	ш	‘тпт	\ттт	-п.
	-3	©ТТ	ГТТт		ж
		""ГГТтХ.©			I 1 1
(нУТг-JL					1 1
	!			г	1 1
					*
					\т

Рис. 2.10


т. е. на всем протяжении от сечения / до правого конца балки ординаты лпнпп влияния остаются постоянными п равными 1.
Соответствующая линия влияния изображена на рпс. 2.8 в. На рпс. 2.9, 2.10 изображены балки на двух опорах с консолями п построены лпнпп влияния моментов п поперечных сил в различ­ных сечениях. Для сеченпп, расположенных между опорами, лпнпп влияния строятся аналогично балке на двух опорах (см. рпс. 2.7), а для консолей, как для защемленной балки (рпс. 2.8). Как впдпм, лпнпп влияния М п Q для сечения, взятого в пределах консоли, имеют совершенно иной вид, чем лпнпп влияния М п Q для сечения, взятого между опорами. При построении линий влияния поперечных сил у опор взято по два сечения: сечения Па п Via расположены бесконечно близко к опорам слева от них, а сечения Ilbu VIb— тоже бесконечно близко к опорам, но справа от них. Вид линий влияния Q (рпс. 2.10) для двух сечений у одной п той же опоры (слева п справа от нее) различен.

40

Г лава 2


с нулевыми точками левой п правой опор. Проведенные таким образом две
прямые параллельны. После этого сносят сечение / так, как это показано
на рпс. 2.7 ж.
Линия влияния Qi в сеченпп / имеет скачок — разрыв. Ординаты лп-
нпп влияния поперечной силы — величины отвлеченные. Поэтому мас-
штаб этих ординат будет такой же, как п для опорных реакций. Ордината
лпнпп влияния Qi дает числовую величину поперечной силы в сеченпп /,
когда груз Р = 1 расположен над данной ординатой. Следовательно,
чтобы получить числовую величину поперечной силы в сеченпп / при за-
данном положении груза Р = 1, надо измерить ординату лпнпп влия-
ния Q_t под грузом.
Если ордината под грузом отрицательна, то это значит, по-
перечная сила в сеченпп / при данном положении силы Р = 1
отрицательна. Ординаты лпнпп влияния Qi характеризуют изме-
нение поперечной силы только для сечения I. Чтобы получить закон
изменения поперечной силы в каком-либо другом сеченпп, надо для этого
сечения построить свою линию влияния.
Построим лпнпп влияния момен-
та п поперечной силы в сеченпп / для
защемленной балки, изображенной на
рпс. 2.8 а. Первоначально рассмотрим
линию влияния М/. Рассмотрим два
положения груза.
1. Груз левее сечения / (на рпс. 2.8а
он показан сплошной линией)
^ь М/ = 0.

• 
  2. Груз правее сечения /(на рпс. 2.8 а
  

^1 он показан штриховой линией)
Рис. 2.S М,г = -1 • XI = -XI,
где xi — расстояние от груза до сечения /;
при xi = 0 Mi = 0; при xi = a Mi = —Ъ.
Соответствующая линия влияния показана на рпс. 2.8 б.
Для построения лпнпп влияния поперечной силы в сеченпп /, аналогич­но предыдущему, рассмотрим два положения груза:
1. Груз левее сечения
Qi — ^и


(так как слева нет никаких сил).

< ^	Г	/				г
1*11
нш	ш		Ут-	-п.
	-3		~ТТт			№
		""ГГТтХ.©			1 1 1
(нУТг-JL					1 1