Shahrisabz shahar pedagogika instituti xt 105 guruh talabasi shodiyona tursunpulatova tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori

Ta'rif. O'zaro munosabatlar deyiladi ekssentriklik giperbolalar, bu erda c fokuslar orasidagi masofaning yarmi va haqiqiy yarim o'qdir. c 2 - a 2 = b 2 ekanligini hisobga olsak:
Agar a = b, e = bo'lsa, giperbola deyiladi isoscellar (teng tomonli).
Ta'rif. Giperbolaning haqiqiy o'qiga perpendikulyar bo'lgan va markazdan a/e masofada simmetrik joylashgan ikkita to'g'ri chiziq deyiladi. direktorlar giperbola. Ularning tenglamalari:.
Teorema. Agar r giperbolaning ixtiyoriy M nuqtasidan istalgan fokusgacha bo'lgan masofa bo'lsa, d - bir xil nuqtadan ushbu fokusga mos keladigan direktrisagacha bo'lgan masofa, u holda r/d nisbati ekssentrisitetga teng doimiy qiymatdir.
Isbot. Giperbolaning eskizini chizamiz.
Aniq geometrik munosabatlardan siz yozishingiz mumkin:
a / e + d = x, shuning uchun d = x - a / e.
(x - c) 2 + y 2 = r 2
Kanonik tenglamadan: b 2 = c 2 - a 2 ni hisobga olgan holda:
O'shandan beri c / a = e, keyin r = ex - a.
Giperbolaning chap novdasi uchun dalil shunga o'xshash. Teorema isbotlangan.
Misol. Cho‘qqilari va o‘choqlari ellipsning mos cho‘qqi va o‘choqlarida joylashgan giperbolaning tenglamasini toping.
Ellips uchun: c 2 = a 2 - b 2.
Giperbola uchun: c 2 = a 2 + b 2.
Giperbola tenglamasi:.
Misol. Giperbola tenglamasini yozing, agar uning ekssentrisiteti 2 bo'lsa va fokuslar parabola parametri tenglamasi bilan ellips fokuslari bilan mos tushsa. Parabolaning kanonik tenglamasini chiqaramiz.
Geometrik munosabatlardan: AM = MF; AM = x + p / 2;
MF 2 = y 2 + (x - p / 2) 2
(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2
x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4
Direktrix tenglamasi: x = -p / 2.
Misol jy 2 = 8x parabolada direktrisadan masofasi 4 ga teng nuqtani toping.
Parabola tenglamasidan p = 4 ekanligini topamiz.
r = x + p / 2 = 4; shuning uchun:
x = 2; y 2 = 16; y = ± 4. Qidiruv nuqtalari: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).
Misol. Qutb koordinata tizimidagi egri chiziq tenglamasi:
Dekart to‘rtburchaklar koordinata sistemasidagi egri chiziq tenglamasini toping, egri chiziq turini aniqlang, fokuslar va ekssentrisitetni toping. Egri chiziqni sxematik tarzda qurish.
Dekart to'rtburchaklar va qutbli koordinatalar sistemalari orasidagi bog'lanishdan foydalanamiz:;
Kanonik giperbola tenglamasi olindi. Tenglamadan ko'rinib turibdiki, giperbola Ox o'qi bo'ylab 5 ga chapga siljigan, katta yarim o'q a 4 ga, kichik yarim o'q b 3 ga teng, shundan c 2 = a 2 + b ni olamiz. 2; c = 5; e = c / a = 5/4.
Fokuslar F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).
Keling, bu giperbolani chizamiz.
1 -topshiriq N° 6713
Vazifa darajasi: imtihonga teng
\ [\ start (holatlar) \ sqrt ((x + 2) A 2 + y A 2) + \ sqrt (x A 2 + (ya) A 2) = \ sqrt (4 + a A 2) \\ 5y = |6-a A 2 | \ end (holatlar) \] faqat bitta yechimga ega.
(Abonentlardan taklif)
Tizimning ikkinchi tenglamasini ko'rib chiqing: u \ (Ox \) o'qiga parallel va yuqori yarim tekislikda (shu jumladan, y = 0,2 | 6-a a 2 | \) chiziqlar oilasini belgilaydi. \ (Ox \) o'qi) har qanday qiymat parametri uchun \ (a \) (chunki modul har doim manfiy emas).
Birinchi tenglamani ko'rib chiqing. \ (A (x; y) \), \ (B (-2; 0) \), \ (C (0; a) \) nuqtalar bo'lsin. Keyin \ (BA = \ sqrt ((x + 2) a 2 + y a 2) \), \ (AC = \ sqrt (x a 2 + (ya) a 2) \), \ (BC = \ sqrt () 4 + a a 2) \).
Shunday qilib, tizimning birinchi tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: \ (BA + AC = BC \). Shunday qilib, u o'rnatiladi geometrik joy nuqtalar \ (A \) segmentida yotgan \ (BC \).
Ushbu sistemaning yagona yechimga ega bo'lishi uchun \ (y = 0,2 | 6-a a 2 | \) to'g'ri chiziq \ (BC \) segmentini bir nuqtada kesishi kerak.
1) \ (a<0\) , to ecTb TOHKa \(C\) newuT Ha oTpuqaTenbHoi/i nacTM ocu \(Oy\) . EgMHCTBeHHbiM cnynai/1, Korga npaMaa \(y=0,2|6-aA2|\) 6ygeT MMeTb c OTpe3KOM ogHy o6^yro TOHKy, - Korga npaMaa \(y=0,2|6-aA2|\) 6ygeT npoxoguTb nepe3 TOHKy \(B\) , to ecTb coBnagaTb c ocbw a6cqucc. OTewga \(0,2|6-aA2|=0\) , cnegoBaTenbHo, \(a=\pm \sqrt6\) . TaK KaK \(a<0\) , to \(a=-\sqrt6\) .
2) \ (a = 0 \) bo'lsin. Keyin \ (BC \) segmenti abtsissada yotadi, \ (y = 0,2 | 6-a a 2 | \) chiziq yuqori yarim tekislikda bo'ladi va ularning umumiy nuqtalari yo'q.
3) \ (a> 0 \) bo'lsin. Keyin \ (C \) ordinataning musbat yo'nalishida yotadi.
\ (y = 0,2 | 6-a a 2 | \) to‘g‘ri chiziq ordinatani \ (D \) nuqtada kesib o‘tadi. Chiziq \ (BC \) segmentini kesishi uchun \ (C \) nuqtasi \ (D \) nuqtasidan past bo'lmasligi kerak, ya'ni \
Keling, bu tengsizlikni hal qilaylik. Chunki \ (a> 0 \), keyin bizda: \ [| 6-a a 2 | \ leqslant 5a \ quad \ Leftrightarrow \ quad -5a \ leqslant 6-a a 2 \ leqslant 5a \ quad \ Leftrightarrow \ quad 1 \ leqslant a \ leqslant 6. \]
Javob:
\ (a \ in \ (- \ sqrt6 \) \ chashka \)
Kvest 2 N° 3978
Vazifa darajasi: imtihonga teng
Parametrning barcha qiymatlarini toping \ (a \), ularning har biri uchun tizim \ [\ start (holatlar) y A 2- (2a + 1) y + a A 2 + a-2 = 0 \\ \ sqrt ((xa) a 2 + y a 2) + \ sqrt ((xa) a 2+ (y-3) a 2) = 3 \ end (holatlar) \] aynan bitta yechimga ega.
Keling, tizimning birinchi tenglamasini o'zgartiramiz. E'tibor bering, \ (a a 2 + a-2 = (a + 2) (a-1) \). Shuni ham yodda tutingki, \ (a + 2 + a-1 = 2a + 1 \), shuning uchun Veta teoremasiga ko'ra, bu tenglamaning ildizlari \ (y = a + 2 \) va \ (y = a-1 \) bo'ladi. ). Demak, birinchi tenglamaning grafigi abtsissa o'qiga parallel bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq \ (y = a + 2 \) va \ (y = a-1 \) bo'ladi.
Ikkinchi tenglamani o'zgartiramiz. \ (A (a; 0) \), \ (B (a; 3) \), \ (C (x; y) \) nuqtalarini ko'rib chiqing. Keyin \ (AB = \ sqrt ((a-a) a 2 + (0-3) a 2) = 3 \), \ (AC = \ sqrt ((x-a) a 2 + y a 2) \) va \ (CB = \ sqrt ((x-a) a 2 + (y-3) a 2) \). Shuning uchun tizimning ikkinchi tenglamasini \ (AC + cB = AB \) shaklida qayta yozish mumkin. Demak, u \ (AB \) segmentida yotuvchi \ (C \) nuqtalar to'plamini belgilaydi. E'tibor bering, \ (A \) va \ (B \) nuqtalari bir xil abscissalarga ega bo'lganligi sababli, \ (AB \) segmenti abscissa o'qiga perpendikulyar.Sxematik ravishda ikkala
Tizim noyob yechimga ega bo'lishi uchun yashil grafik \ (AB \) segmentini bir nuqtada kesishi kerak. Demak, yo to'g'ri chiziq \ (y = a + 2 \) segmentni kesib o'tadi va \ (y = a-1 \) to'g'ri chiziq uni kesib o'tmaydi yoki aksincha: \ [\ chap [\ start (yig'ilgan) \ start (hizalangan) & \ start (holatlar) 0 \ leqslant a + 2 \ leqslant 3 \\ a-1 <0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 0\leqslant a-1\leqslant 3\\ a+2>3 \ end (holatlar) \ end (hizalangan) \ uchi (yig'ilgan) \ o'ng. \ To'rt \ chap o'ng \ to'rt a \ ichida [-2; 1) \ chashka (1; 4] \]
Javob:
\ ([- 2; 1) \ chashka (1; 4] \)
Topshiriq 3 N° 3979
Vazifa darajasi: imtihonga teng
Toping eng kichik qiymat parametr \ (a \), buning uchun tenglama \ [\ sqrt ((x + 8) A 2 + (x + 2) A 2) + \ sqrt ((x + 14) A 2 + (x + 3) A 2) =
13a \] kamida bitta ildizga ega.
1 yo'l.
O'ylab ko'ring \ (f (x) = \ sqrt ((x + 8) a 2 + (x + 2) a 2) + \ sqrt ((x + 14) a 2 + (x + 3) a 2) \).
Keyin tenglama \ (f (x) = 13a \) ko'rinishini oladi. Keyin \ (y = 13a \) to'g'ri chiziq \ (y = f (x) \) grafigini kamida bir nuqtada kesib o'tadigan eng kichik \ (a \) qiymatini topishimiz kerak. Keling, \ (f (x) \) ni ko'rib chiqaylik. Buning uchun avvalo uning hosilasini topamiz: \ [\ start (hizalangan) & f ”(x) = \ dfrac (2 (x + 8) +2 (x + 2)) (2 \ sqrt ((x + 8) a 2 + (x + 2) a 2 )) + \ dfrac (2 (x + 14) +2 (x + 3)) (2 \ sqrt ((x + 14) a 2 + (x + 3) a 2)) = \\ & = \ dfrac ( 2x + 10) (\ sqrt ((x + 8) a 2 + (x + 2) a 2)) + \ dfrac (2x + 17) (\ sqrt ((x + 14) a 2 + (x + 3) ) a 2)) \ end (hizalangan) \] Hosilaning nollarini toping: \ [\ start (hizalangan) & \ dfrac (2x + 10) (\ sqrt ((x + 8) a 2 + (x + 2) a 2)) + \ dfrac (2x + 17) (\ sqrt ((x) +14) a 2 + (x + 3) a 2)) = 0 \ to'rtta \ Chapga o'q \\ & \ sqrt (\ dfrac ((x + 14) a 2 + (x + 3) a 2) ((x +) 8) a 2 + (x + 2) a 2)) = - \ dfrac (2x + 17) (2x + 10) \ to'rtlik \ Chap o'q \\ & \ start (holatlar) \ dfrac ((x + 14) a 2 + (x + 3) a 2) ((x + 8) a 2 + (x + 2) a 2) = \ chap (\ dfrac (2x + 17) (2x + 10) \ o'ng) a 2 \ qquad ( *) \\ \ dfrac (2x + 17) (2x + 10) \ leqslant 0 \ end (holatlar) \ quad \ Leftrightarrow \\ & \ begin (holatlar) 85x a 2 + 598x + 424 = 0 \\ x \ in \ chap [-8,5; -5 \ o'ng) \ uchi (holatlar) \ to'rtta \ chap o'ng yo'l \\ & x = - \ dfrac (106) (17) \ end (hizalangan) \]
Keling, hosilaning belgilarini aniqlaylik:
Shuning uchun funktsiyaning sxematik grafigi quyidagicha ko'rinadi:
Shuning uchun \ (a \) parametrining eng kichik qiymati \ (y = 13a \) chiziq \ (f (x) \) funktsiyaning ekstremum nuqtasidan o'tganda hisoblanadi: \
2-usul.
E'tibor bering, birinchi usulda juda ko'p hisob-kitoblar bo'lgan va aslida \ ((*) \) tenglamani yechishda \ (x A 4 \) va \ (x A 3 \) bilan atamalar o'zaro nobud bo'lganidan omadimiz keldi. va biz keldik kvadrat tenglama... Ammo raqamlar unchalik yaxshi tanlanmagan bo'lsa va biz hal qila oladigan "chiroyli" tenglamaga ega bo'lmasak-chi?
Shu kabi tenglamalarni yechishning ikkinchi usulini ko'rib chiqamiz.
Uch nuqtani ko'rib chiqing: \ (A (x; x) \), \ (B (-8; -2) \), \ (C (-14; -3) \). Keyin tenglama \ shaklini oladi, agar tenglama kamida bitta yechimga ega bo'lgan \ (a \) parametrining eng kichik qiymatini topishimiz kerak bo'lsa, unda biz \ (A \) nuqtani topishimiz kerak. \ (AB \) va \ (AC \) segmentlarining uzunligi eng kichik bo'ladi.
\ (A \) nuqtasi qayerda joylashgan? Bu nuqta \ (y = x \) to'g'ri chiziq bo'ylab "yuguradi". Grafik jihatdan bu shunday ko'rinadi:
Bu erda biz klassik planimetriya g'oyasidan foydalanamiz. \ (B \) nuqtasini \ (y = x \) chizig'iga nisbatan nosimmetrik tarzda aks ettiring (ya'ni, \ (BB "\ perp y = x \") chizing, bu erda \ (BH = HB" \):
Keyin \ (AB + AC = AB "+ AC \). E'tibor bering, uchburchak qoidasiga ko'ra, \ (A \) nuqta \ (B" C \) segmentida yotmasa, \ (AB M+ AC \" > B" C \). Shuning uchun, \ (AB "+ AC \) uzunliklarning eng kichik yig'indisiga \ (B" C \ da A \) erishilganda erishiladi.
Shunday qilib, biz kontseptual ravishda \ (A \) nuqtasi qaerda bo'lishi kerakligini tushundik. Endi uning koordinatalarini topish qoladi.
1) \ (B "\) nuqtaning koordinatalarini toping.
Buning uchun avvalo chiziq tenglamasini topamiz \ (BB "\).\ (BB" \ perp y = x \) ekan, u holda \ (BB "\) chiziq tenglamasi \ ( ko'rinishga ega bo'lsa. y = kx + b \), keyin \ (k \ cdot 1 = -1 \) (ikkita o'zaro perpendikulyar to'g'ri chiziqning qiyaliklarining ko'paytmasi \ (- 1 \) ga teng) Shuning uchun \ (y = -x + b). \).
\ (b \) raqamini topish uchun \ (B \) nuqtaning koordinatalarini chiziq tenglamasiga almashtirishingiz kerak: \ [- 2 = -1 \ cdot (-8) + b \ to'rt \ Chap o'ng \ to'rt b = -10 \] Shuning uchun chiziq tenglamasi \ (y = -x-10 \) ko'rinishga ega.
\ (H \) nuqtaning koordinatalarini topamiz - bu \ (y = x \) va \ (y = -x-10 \) chiziqlarining kesishish nuqtasidir: \ [\ start (holatlar) y = x \\ y = -x-10 \ end (holatlar) \ to'rtta \ Chap o'ngga \ to'rtlik x = y = -5 \ to'rtta \ O'ngga \ to'rtlik H (-5; -5) \ ]\ (H \) - segmentning o'rta nuqtasi \ (BB "\). Demak, \ (B" \) nuqtaning koordinatalari \ ((x_0; y_0) \) bo'lsa, u holda \ [\ boshlanadi (holatlar) -5 = \ dfrac (-8 + x_0) 2 \\ -5 = \ dfrac (2 + y_0) 2 \ oxiri (holatlar) \ to'rtlik \ Chap o'ng \ to'rt \ bosh (holatlar) x_0 = -2 \\ y_0 = -8 \ end (holatlar) \] Shunday qilib, \ (B "(- 2; -8) \).
2) \ (B "C \") chiziq tenglamasini toping.Agar bu chiziqning tenglamasi bo'lsa umumiy ko'rinish\ (y = mx + n \) ga o'xshaydi, keyin \ [\ boshlanadi (holatlar) -8 = -2m + n \\ -3 = -14m + n \ oxiri (holatlar) \ to'rtta \ Chap o'ng \ to'rtta \ boshlanish (holatlar) m = - \ dfrac5 (12) \\ n = - \ dfrac (53) 6 \ end (holatlar) \] Shuning uchun, \ (y = - \ frac5 (12) x- \ frac (53) 6 \). Endi siz \ (A \) nuqtaning koordinatalarini
topishingiz mumkin - bu \ (y = x \) va \ (B "C \") chiziqiarining kesishish nuqtasi: \ [\ start (holatlar) y = x \\ y = end (holatlar) \ to'rtlik \ Chapga o'q \ to'rtlik x = y = - \ dfrac (106) ( 17) \]
3) Endi siz \ (a \) parametrining qiymatini topishingiz mumkin. \