Shartli ehtimol. To’la

Ehtimolning klassik ta’rifi

Ko’pgina hollarda qaralayotgan hodisaning ehtimolini o’tkazilayotgan tajribaning tahlilidan kelib chiqqan holda bevosita hisoblash mumkin.
8-Misolda qaralgan tajribani tahlil qilamiz. O’yin toshi simmetrikligidan 𝐴_i hodisalar bir xil imkoniyatga ega. Shuning uchun biz ularni teng imkoniyatli hodisalar deb ataymiz. O’yin toshi ko’p marta tashlanganda ixtiyoriy i = 1^̅̅,^̅6^̅ qiymatda 𝐴_i hodisa taxminan 𝑛/6 marta yuz beradi, y’ni 𝑃^*(𝐴⁾ nisbiy chastota 1/6
qiymatga yaqin bo’ladi. Shuning uchun o’yin toshining yuqori qismiga i raqamining tushish ehtimoli 1/6 nisbatga teng deb hisoblash mumkin.
Birgalikda bo’lmagan teng imkoniyatli 𝑛 ta hodisalarning to’liq guruhini qaraymiz. Bu guruhdan olingan hodisaning yuz berish natijasida 𝐴 hodisa ham yuz bersa, bunday hodisani 𝐴 hodisaga imkoniyat yaratuvchi hodisa deb ataymiz.
1-Ta’rif. 𝐴 tasodifiy hodisaning 𝑃(𝐴) ehtimoli deb, 𝐴 hodisaga imkoniyat yaratuvchi hodisalar 𝑚 sonining barcha yuz berishi mumkin bo’lgan hodisalar 𝑛 soniga nisbatiga aytiladi:
𝑃⁽𝐴⁾ = 𝑚/𝑛. (6)
𝐴 hodisaning ehtimoli uning statistik ehtimoli bilan bir xil xossalarga ega.

9. 
   Misol. Qutida 8 ta oq va 3 ta qora shar bor. Qutidan ixtiyoriy ravishda olingan shar oq rangda bo’lish ehtimolini toping.
   

• 
  𝐴 = {qutidan oq rangli shar olindi} hodisani kiritamiz. Teng imkoniyatli hodisalarning soni 𝑛 = 8 + 3 = 11 ekanligi ravshan. Oq rangli sharlar soni 8 ta bo’lganligi tufayli, 𝐴 hodisaga imkoniyat yaratuvchi hodisalar soni 𝑚 = 8 bo’ladi. Shuning uchun (6) formulaga ko’ra 𝑃⁽𝐴⁾ = 8/11 bo’ladi.◄
  

Geometrik ehtimol

Tajriba natijasi chekli sondagi teng imkoniyatli hodisalardan iborat bo’lsa, mazkur tajriba bilan bog’liq 𝐴 hodisaning 𝑃(𝐴) ehtimoli bu hodisaga imkoniyat yaratuvchi hodisalarning “ulushi” sifatida aniqlanadi. Natijalari cheksiz sanoqsiz
to’plamdan iborat bo’lgan murakkab tajribalarda ham ehtimollar ana shu “ulushlar”dan foydalanilib hisoblanadi.
Tekislikda yuzasi 𝑆_Ω bo’lgan Ω soha va bu sohaning qismi bo’lgan 𝐷 soha berilgan bo’lsin. 𝐷 qismiy sohaning yuzi 𝑆_𝐷 bo’lsin. Ω sohaga ixtiyoriy ravishda X nuqta tashlansin, bunda X nuqtaning Ω sohaga tushishi muqarrar, 𝐷 sohaga tushishi esa tasodifiy hodisa deb faraz qilamiz. Ω sohaning barcha nuqtalari “teng huquqli” deb hisoblaymiz. Ushbu 𝐴 ={X nuqta 𝐷 sohaga tegishli: X ∈ 𝐷} hodisasini kiritamiz.
𝐴 hodisaning geometrik ehtimoli deb 𝐷 soha yuzining Ω soha yuzi nisbatiga aytiladi, ya’ni
𝑃⁽𝐴⁾ = 𝑆_𝐷/𝑆_Ω. (7)
Ehtimolning geometrik ta’rifini Ω va 𝐷 sohalarning ikkalasi ham chiziqli yoki hajmli bo’lganda ham qo’llash mumkin: birinchi holda
𝑃⁽𝐴⁾ = 𝐿_𝐷/𝐿_Ω (8)

va ikkinchi holda

𝑃⁽𝐴⁾ = 𝑉_𝐷/𝑉_Ω (9)

ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 𝐿 mos sohaning uzunligi, 𝑉 esa hajmi.

9. 
   Misol. Uzunligi 𝐿 bo’lgan kesmaga £ nuqta ixtiyoriy ravishda tashlanmoqda. Tashlangan nuqtaning kesma markazidan chetlanishi 𝑙 dan oshmaslik ehtimolini toping.
   

• 
  £ nuqta kesmaning ixtiyoriy nuqtasiga tushishi mumkinligi tufayli, tajriba cheksiz ko’p natijaga ega. Bundan tashqari masala shartidan kesmaning barcha nuqtalari teng imkoniyatli.
  

𝐴 = *£ nuqtaning kesma markazidan chetlanishi 𝑙 dan oshmaydi} hodisasini kiritamiz. Bu hodisa £ nuqta kesma markazidan uzog’i bilan 𝑙 masofada yotgan holdagina yuz beradi. Bunday nuqtalarning “ulushi” 𝐿(𝐴)/𝐿 nisbat sifatida aniqlanadi. Bu yerda 𝐿 butun kesmaning uzunligi, 𝐿⁽𝐴⁾ = 2𝑙 esa 𝐴 hodisaga imkoniyat yaratuvchi kesmaning uzunligi. Shunday qilib

tenglikni hosil qilamiz.◄

^2𝑙 , agar 2𝑙 < 𝐿

𝑃⁽𝐴⁾ = {
𝐿
1, agar 2𝑙 ≥ 𝐿