Shturm ko’phadlar qatori. Shturm teoremasi

Endi f(x) va f΄(x) ko’phadlarga Yevklid algoritmini tatbiq etamiz. Ammo bunda har gal qoldiqning ishorasini o’zgartiramiz. Masalan, f(x) ni f΄(x) ga bo’lishdan r(x) qoldiq chiqsa, biz uning o’rniga f1(x)=r(x) ko’phadni olamiz. Buni nazarda tutib, quyidagilarni hosil qilamiz:

Endi f(x) va f΄(x) ko’phadlarga Yevklid algoritmini tatbiq etamiz. Ammo bunda har gal qoldiqning ishorasini o’zgartiramiz. Masalan, f(x) ni f΄(x) ga bo’lishdan r(x) qoldiq chiqsa, biz uning o’rniga f1(x)=r(x) ko’phadni olamiz. Buni nazarda tutib, quyidagilarni hosil qilamiz:

f(x)=f΄(x) g(x)-f1(x),

f΄(x)=f1(x)g1(x)-f2(x),

……………………… (2)

fm-2(x)=fm-1(x)gm-1(x)-fm(x)

bunda fm(x) nolinchi darajali ko’phad, chunki bu qoldiq f(x) va f΄(x) ko’phadlarning eng katta umumiy bo’luvchisini ifodalaydi.

f1(x)=r(x)

f1(x)=r(x)

f(x)=f΄(x) g(x)-f1(x),

f΄(x)=f1(x)g1(x)-f2(x),

……………………… (2)

fm-2(x)=fm-1(x)gm-1(x)-fm(x)

TA’RIF: Ushbu

f(x), f΄(x), f1(x),…, fm-1(x), fm(x) (3)

ko’phadlar Shturm ko’phadlari deyiladi, bu ko’phadlarning birinchisi va oxirgisidan boshqa har biri oraliq ko’phad deb ataladi.

f(x)=f΄(x) g(x)-f1(x),

f΄(x)=f1(x)g1(x)-f2(x),

……………………… (2)

fm-2(x)=fm-1(x)gm-1(x)-fm(x)

SHTURM, SHARL FRANSUA (Sturm, Charles-François) (1803–1855), frantsus matematigi

Misol. f(x)=x4-4x3+x2+6x+2

Misol. f(x)=x4-4x3+x2+6x+2

ko’phadni olamiz. Bu ko’phad va uning hosilasi f΄(x) ga Yevklid algoritmini tatbiq etgandan keyin bu ko’phadlarning eng katta umumiy bo’luvchisi nimaga tengligi ma’lum bo’ladi. Agar eng katta umumiy bo’luvchi darajasi noldan yuqori darajali ko’phad bo’lib chiqsa, bu hol f(x) ning karrali ko’paytuvchilari borligini ko’rsatadi. Bunday vaqtda f(x) ning karrali ko’paytuvchilarini ajratib, f(x) o’rniga shu ko’paytuvchilarni tekshiramiz. f΄(x) ni topamiz: