Sonli qator umumiy tushunchalari

Misol .

Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring :

+

Yechilish.

Berilgan qatorning n-xususiy yig’ndisi

.
Bu yig’idini soddalashtirish maqsadida qatorning n-hadini quydagi
= ( - )

Ko’rinishda yozib olamiz.U holda

= ( - ) + ( - ) + ( - )+

+ + ) + ) = - )

bo’ladi. Ravshanki, { } ketma-ketlik limiti mavjud va ga teng.

Demak , berilgan qator yaqinlashuvchi bo’lib uni

kabi yozish mumkin ekan.

II Yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.

Bizga ushbu
( 1 )
va
( 2 )
qatorlar berilgan va c ixtiyoriy o’zgarmas son bo’lsin.

Ushbu
( 3 )

qator ( 1 ) qatorni c o’zgarmas songa ko’paytirish natijasida hosil qilingan
deyiladi.
( 4 )


( 5 )
Qatorlar esa, mos ravishda ( 1 ) va ( 2 ) qatorlarning yig’indisi va ayirmasi deb ataladi.


1-Teorema.

Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig’indisi S ga teng bo’lsa, u holda (3) qator ham yaqinlashuvchi bo’lib, yig’indisi cS ga teng bo’ladi.

Isboti.

(3)qatorning n-xususiy yig’indisini yozib olamiz :

Buni quydagicha yozish mumkin :

bu yerda S_n (1) qatorning n-xususiy yig’indisi .Teorema shartiga ko’ra

S_n=S
holda limit mavjud bo’ladi :

= S_n= S_n=cS.

Shunday qilib ,yaqinlashuvchi qatorni o’zgarmas songa ko’paytirish

Natijasida yana yaqinlashuvchi qator hosil bo’ladi va uning yig’indisini topish uchun berilgan qator yig’indisini shu songa ko’paytirish kifoya.


2-Teorema.

Agar (1) va (2) qatorlar yaqinlashuvchi va yig’indilari mos ravishda S va S’ bo’lsa, u holda (4) va (5 ) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo’lib ,ularning yig’indilari mos ravishda

S + S’ va S - S’ ga teng bo’ladi.

Isboti.

(4) qatorning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun qatorning n-xususiy yig’indisini yozib olamiz:

Bu tenglikni quydagicha yozib olish ham mumkin:

Bu yerda S_n va S’_n mos ravishda (1) va (2) qatorning xususiy yig’indilari.Teorema shartiga ko’ra

va S’_n = S’.

Shu sababli =S_n+S’_n tenglikda limitga o’tish mumkin:

= )= + = S+ .

Demak,(4 ) qator yaqinlashuvchi va yig’indisi S+ S’ ga teng ekan

3-teotema.

Yaqinlashuvchi qatorda hadlarning joylashish tartibini o’zgartirmasdan ixtiyoriy guruxlash natijasida hosil bo’lgan yangi qator yaqinlashuvchi va yig’indisi avvalgi qator yig’indisiga teng bo’ladi.