Способы решения функциональных уравнений

D ⊂R.

Аналогичным образом поступили и с операциями сложения, умножения, вычитания и деления функции: для обозначения результатов их применения, т.е. частного функции, взяли "напрокат" знаки их арифметических тезок. То, что это чревато определенными неприятными последствиями, подтверждают определенные трудности, возникающие при попытке однозначно "расшифровать" такие записи, как 0+0=0, 1×0=0, 1×1=1.

Подобное неоднозначность в понимании смысла обозначения уже в полнее может подвигнуть к проявлению особой осторожности и большего внимания при решении задач на поиск функции с заданными свойствами. Такая бдительность вдвойне оправдана и наличием второй линии изучения "оперативных" свойств функции. Увы, но как раз изучение принципиальных различий в свойствах арифметических операций над действительными числами и одноименных операций над числовыми функция в школьном курсе математики уделяют ничтожно мало времени. И в этом случае могли бы помочь функциональные уравнения, пусть даже без упоминания самого этого термина. Что бы подтвердить это, приведем несколько простых задач, поиски решения которых, помогли бы и ученику и учителю более основательно изучить свойства операций над функциями, возможно даже сделать для себя маленькие, но полезные открытия.
Задача 1.1
Укажите все функции f(x) и D(x)=R и E(f)⊂R, удовлетворяющие
следующему условию:

а) =

б) =
в) =
г) = ;
д)


Задача 1.2
Укажите все функции f(x), удовлетворяющих следующему условию:

Где r - произвольное фиксированное положительное число, с и .

Естественно, что решение задач 1.1 и 1.2 можно искать среди функций обладающих некоторыми дополнительными свойствами (см. задачу 1.3)