Ta‟lim vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi

Takomillashgan kodlar. G hosil qiluvchi matritsali va H tekshirish matritsali GF(q) ustidan chiziqli (n, k, d) blokli kodni S bilan belgilaymiz.
s, 0 < s < k butun son bo‗lsin. Umumiy holda chiziqli qisqartirilgan (n-s, k-s, d_s) kod masofaga ega bo‗ladi. Kodning hosil qiluvchi matritsasi
dastlabki kod G matritsasidan quyidagi tarzda olinishi mumkin. G matritsa muntazam shaklda, ya‘ni quyidagicha berilgan bo‗lsin:

G  ( ^{I k} )
P


(4.1)

U holda Cs qisqartirilgan kod Gs hosil qiluvchi matritsasi (k-s)x(n-s) I_k birlik matritsaning s ustunlarini va tanlangan (o‗chiriladigan) ustunlar mos nol bo‗lmagan s satrlarini o‗chirish bilan olinishi mumkin. Bu operatsiya quyidagi misolda ko‗rsatilgan.

1. 
   misol Xemming (7,4,3) kodini ko‗rib chiqamiz.
   

_1 0 0 0


_{0
G  }0 1 0 0
_ 0 1 0
_0 0 0 1
1 0 1_

1 1 1_

0


1 1 ^
0 1 1_
(4.2)

Qisqartirilgan (5, 2, 3) kodni qurish uchun G matritsa to‗rtta chapki ustunlaridan istalgan ikkitasini o‗chirish mumkin. Birinchi ikkita ustunlar va demak G matritsaning birinchi va ikkinchi satrlari o‗chiriladi deb olamiz. Bu ustunlar va satrlar (4.2) ifodada qalin shriftda belgilangan. Qolgan elementlar matritsani tashkil etadi:

_1 0
G  ^
s _0 1
1 1 0_

0 1 1_


(4.2.1)

Qisqartirilgan kodni dastlabki kodga nisbatan tuzatish xossalarini kuchaytirishini tushunish uchun 1-misoldan qisqartirilgan kodning standart jadvalini o‗rganish juda foydali bo‗ladi.

Standart jadvaldan kelib chiqadiki, Xemming ikki vaznli hatoliklarining ikkita birikmalari, aynan 11000 va 01100 mavjud bo‗lib, ular kodning minimal masofasi 3 ga teng qolsada, tuzatilishi mumkin.
Payqaymizki, yuqorida tavsiflangan kodni qisqartirish operatsiyasi uning uzunligi va o‗lchamliligini kamaytiradi, tekshirish simvollari soni esa oldingicha qoladi.

4.1-jadval
Qisqartirilgan (5, 2, 3) kodning standart jadvali

s	U=00	U=10	U=01	U=11
000 110 011 100 010 001 101 111	00000 10000 01000 01100 00010 00001 11000 01100	10110 00110 11110 10010 10100 10111 01110 11010	01011 11011 00011 01111 01001 01010 10011 00111	11101 01101 10101 10101 11111 11100 00101 10001

Demak, ko‗proq xatoliklar kombinatsiyalari soni tuzatilishi kerak. Buni t xatoliklarni tuzatadigan chiziqli blokli (n, k, d) kod uchun Xemming yordamida oson isbotlanadi, u qulaylik uchun quyida keltiriladi:

nk
^t  ⁿ 

2  _^ _l ^
(4.3)

^{i 0}  

Dastlabki (n, k, d) kodga nisbatan uning qisqartirilgan versiyasi (n-s, k-s, d_s) o‗sha ortiqchalikka ega bo‗ladi. Demak, (4.3) tengsizlikning chap qismi o‗sha qiymatga ega bo‗ladi. Boshqacha aytganda, aralash sinflar soni o‗zgarmadi. Lekin boshqa tomondan, o‗ng tomon s > 0 da kamaydi. Boshqacha aytganda, t yoki kam vazn xatoliklari kombinatsiyalari soni kamaydi. Agar dastlabki kod tengsizlik bilan Xemming (4.3) chegarasini qoniqtirmasa (ma‘lumki, ikkilik kodlar orasida faqat Xemming kodi, Goley kodi, bitta tekshirishli kodlar va takrorlash kodlari tengsizlikni qanoatlantiradi), u holda

nk
^t  ⁿ

2  _^ _i ^
i0  

farq dastlabki kod bilan tuzatish mumkin bo‗lgan t katta vazn qo‗shimcha xatoliklar kombinatsiyalari hisoblanadi. Qisqartirilgan kod orqali tuzatiladigan qo‗shimcha xatoliklar kombinatsiyalari soni quyidagiga teng bo‗ladi:

nk
^t _ n  s_
^ nk
^t  ⁿ^{
t } ⁿ
_ n  s _

_Δt 2
 _^ _l ^  ^ 2
 _^ _l ^  _^ _l ^  ^ _l ^_
(4.4)

^i0   _
^i0  _ ^{l 0} _   _

ya‘ni bir t radiusga, lekin turli n va n-s o‗lchamliliklarga ega bo‗lgan Xemming sferalari hajmlarining farqiga teng bo‗ladi.
Kengaytirish. Umumiy holda S kodni kengaytirish ε tekshirish simvollarini qo‗shilishini bildiradi. Kengaytirilgan S_ext (n+e, k, d_ext) kod d_ext ≥ d minimal masofaga ega. Kengaytirilgan tekshirish (n-k+ε)*(n+ε) matritsasi S kod N matritsadan ε satrlar va ustunlarni qo‗shish bilan olinadi:








^Hext ^



 ,1



^h1,1 		^h1,2 	^h1,h 
h 		h 	^h ,h H
hk  ,1	h	hk 




 ,2 _





(4.5)

Kodni kengaytirining eng ma‘lum usuli juftlikka umumiy tekshirishni qo‗shilishidan iborat. Bu holda kengaytirilgan matritsa quyidagi ko‗rinishga ega bo‗ladi:

^Htxt
 ^{1 1  1}
 

 _0
  ⁰ 


_{ H} 
 ⁰ 


(4.6)

Natijada C_ext (n+1, k, C_ext) kodni olamiz. Agar dastlabki kodning masofasi toq bo‗lsa, u holda bo‗ladi C_ext = d+1.

Misol. C Xemming (7,4,3) kodi bo‗lsin. U holda kengaytirilgan C_ext
(8,4,4) kod quyidagi tekshirish matritsasiga ega bo‗ladi:

^Hext
 ¹


 _{0
 } 0

_ 0
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
^{1 1}

0 0_

0

1


0 1_


(4.7)

Ustunlarning joylarini almashtirish bilan bu matritsa RM_1,3 Rid-Maller kodi hosil qiluvchi matritsasiga aylanadi, u o‗zi dual kod hisoblanadi.

Birlashgan kodlar. Kodlarni kombinatsiyalashning usullari texnika yordamida juda kuchli natijalarni olish mumkin, bu 1993 yilda turbo kodlarning paydo bo‗lishi bilan tasdiqlanadi. Endi qo‗shimcha

ko‗rsatmalarsiz C₁ (n_i, k_i, d_i), i = 1,2 parametrlarli chiziqli blokli kodni bildiradi.
Ikkita C₁ va C₂ kodlarni ko‗rib chiqamiz. U holda C₁ va C₂ kodlarning

ketma-ket ulanishi ekvivalent bo‗ladi.
c₁  C₂
va c₂  C₂
kodlarni ketma-ket uzatilishiga

C₁ C₂
 c
c : c
 C_i , i
 1,2
(4.8)

2

1,

i
m (n_i, k_i, d_i), i=1,2,....,m chiziqli bloklarni ketma-ket ulanishi (navbatlashishi) natijasi

n  _
i1
n_i ,


k  _ k_i ,
i1
^{d } min
1im
d_i 
(4.9)

C_i, i = 1, 2,....,m komponentli kodning hosil qiluvchi matritsasini G_i belgilaymiz. U holda kodlarni qayta ulanishi hosil qiluvi matritsasi quyidagi ko‗rinishga ega bo‗ladi:

G1	
 	G2	 


^GTS _





^Gm 

(4.10)

bu yerda to‗ldirilmagan yacheykalar nolli yacheykalar hisoblanadi.
Kodlarning ketma-ket ulanishi kodlarning ―to‗g‗ri qo‗shib chiqilishi‖ yoki ―kaskadli ulanish‖ deyiladi. Lekin bu kitobda kodlarning
―kaskadli ulanish‖ atamasi boshqacha ma‘noga ega.
Misol. C₁ (4,1,4) kod-takrorlanish, C₂ esa Xemming (7,4,3) kodi bo‗lsin. U holda bu kodlarning ketma-ket ulanishi

¹

^G  ^{ 0
0 0}

1	1	1	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	0	0	1	0	0	1
0	0	0	0	0	1	0	1
0	0	0	0	0	0	1	0


0 1_

1
G_TS  ^{ }  ^ 0
1 1^
(4.10.1)

 ⁰
 ^G2  ^

0





^{1 0}

1
1 _

hosil qiluvchi matritsali chiziqli blokli (11,5,3) kodni beradi.

Kodlarning navbatlashish texnikasi xatoliklardan turli himoyalash darajali yoki xatoliklardan tengsiz himoyalashni talab qiladigan aloqa tizimlarida keng ishlatiladi.
Yana payqaymizki, o‗sha bitta kodni m-karrali ketma-ket ulanishi kodli so‗zni m-karrali takroran uzatilishiga ekvivalent bo‗ladi.