Ta'rif Agar y fazoda ochilgan har bir o to'plam X fazoda ochilgan to'liq f –1 ( o ) teskari tasvirga EGA bo'lsa, f : X →Y xaritalash uzluksiz deyiladi. Izoh 1

Ta'rif 14. f : X→Y xaritalash qatlam bo'yicha bog'langan deb ataladi , agar har bir qatlam f ^–1 ( y ), bu yerda y Ushbu xaritalashning Y bog'langan to'plamdir.
2.2 teorema (ulanishning saqlanishi haqida). Ko'rsatishga ruxsat bering f : X Y Va g : Z Y uzluksiz va uzluksiz sur'ektiv xaritalash mavjud ph : X Z , bunda f = g  ph . Keyin xaritalash bo'lsa f nuqta orqali ulanadi y Y ( f ^–1 ( y ) qavati ulangan), keyin xaritalash g nuqta orqali ulanadi y  Y (qatlam g ^–1 ( y ) ulangan). Xususan, agar f xaritalash ulangan bo'lsa (tolali tarmoqqa ulangan), u holda g xaritalash ulanadi (tolali tarmoqqa ulangan).
Isbot. Xaritalar f bo'lsin : X Y nuqta orqali ulangan  Y , keyin y nuqtaning istalgan Oy mahallasi uchun tutashgan U mahallasi mavjud  Oy nuqtasi y , yuqorida f bo'lgan trubka ^–1 ( U ) ulangan. ph xaritalash uzluksiz, bu (1.5 teorema bo'yicha) bog'langan f to'plamning tasvirini bildiradi. ^–1 ( U ) (ulangan qatlam f ^–1 ( y )) bog‘langan, ya’ni. ph ( f _ ^–1 ( U )) ( ph ( f) ni o‘rnating ^–1 ( y ))) – ulangan.
g xarita y nuqtada uzilgan  Y , ya'ni. y nuqtaning shunday tutashgan mahallasi Oy borki , quvur g ^–1 ( U ) U ning har bir mahallasida uzilgan  Oy ball y . (Faraz qiling, g qatlam ^–1 ( y ) y nuqtadan uzilgan  Y ).
Shartiga ko'ra, f = g   ph , shuning uchun,
f ^–1 ( U ) = ( g  ph ) ^–1 ( U ) = ph ^–1 ( g ^–1 ( U )).
Bu yerdan,
ph ( f ^–1 ( U )) = ph ( ph ^–1 ( g ^–1 ( U ))) = g ^–1 ( U )
ph uchun ( f ^–1 ( y )) = g ^–1 ( y )). Bizda qarama-qarshilik bor, chunki ph ( _ f ^–1 ( U )) ulangan (qatlam ph ( f ^–1 ( y )) ulangan), lekin g ^–1 ( U ) (qatlam g ^–1 ( y )) to‘plami emas.
Ko'rsatishga ruxsat bering f ulangan (qatlam bo'yicha bog'langan), keyin 10 (11) ta'rifi bo'yicha u har bir y nuqtasi ustida bog'langan.  Y (har bir qatlam f ^–1 ( y ) ulanadi). Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik Y. _ Agar xaritalash f bu nuqta orqali bog'langan y Y ( f ^–1 ( y ) qavati ulanadi), keyin g xaritalash xuddi shu nuqta ustida ulanadi ( g ^–1 ( y ) qavat ulanadi). y nuqtani tanlashning o'zboshimchaligi tufayli g xaritalash har bir y nuqta ustida bog'langan degan xulosaga kelamiz. Y (qatlam bo'yicha ulangan).


2.2. Yopiq xaritalar. Bog'lanish va qatlamli ulanish o'rtasidagi munosabat
Ta'rif 15. f xaritasi : X → Y agar har bir yopiq to'plam uchun F yopiq deb ataladi X tasvir f ( F ) Y dagi yopiq to‘plamdir.
Ta'rif 16. Xaritalash f : X → Y qatlamning har qanday O qo'shnisi uchun y Y nuqta ustida yopiq deb ataladi f ^–1 ( y )  X nuqtada y nuqtaning Oy qo'shnisi mavjud bo'lib , uning ustidagi f ^-1 ( Oy ) trubkasi f ^-1 ( y ) qavatining ushbu O qo'shnisida joylashgan :
f ^–1 ( y )  f ^–1 ( Oy )  HAQIDA.
Bir nuqtadagi yopiqlik va umumiy yopiqlik o'rtasidagi bog'liqlik quyidagilar bilan o'rnatiladi
Lemma 2.1. Doimiy ko'rsatish f : X → Y, agar u har bir y Y nuqtasi ustida yopiq bo'lsa, yopiq bo'ladi .
Isbot. Zaruriyat. Xaritalash f bo'lsin : X → Y yopiq. Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik Y va f ^–1 ( y ) to‘plamning O qo‘shnisini ko‘rib chiqamiz . F = X \ o'rnating O X va F ∩ da yopiq f ^–1 ( y ) = . Shuning uchun f ( F ) to'plam Y va y nuqtada yopiladi f ( F ) . Bu mahalla Oy = Y \ degan ma'noni anglatadi. f ( F ) nuqta y quyidagi xususiyatga ega f ^–1 ( Oy ) ∩ F = , shuning uchun f ^–1 ( Oy )  A. Shunday qilib, xaritalash f har bir nuqtada yopiq yY _ y nuqtasi ekanligi sababli o'zboshimchalik bilan olingan.
Adekvatlik. Har bir nuqtada uzluksiz f xarita yopilsin y Y. _ Faraz qilaylik, X da ba'zi F to'plamning f ( F ) tasviri yopildi Y da yopiq emas. y nuqtasi bo'lsin [ f ( F ) \ f ( F ), ya'ni. f ( F ) to'plamining chegarasiga tegishlidir . X belgilang \ F f ^–1 ( y ) to‘plamining qo‘shnisi . Shuning uchun shunday mahalla Oy bor y nuqtasi f ^–1 ( Oy ) _  X \ F. _ Ammo keyin oh ∩f _ ( F ) = va shuning uchun y nuqtasi [ f ( F ) .
Bizda qarama-qarshilik bor. Demak, xaritalash f yopiq.
Quyidagi bayonotlar yopiq xaritalashning eng muhim misollaridan ba'zilarini ko'rsatadi.
Taklif 2.1. Uzluksiz ekran f : X  X ixcham fazoning Y Hausdorff fazosiga Y yopildi.
Isbot . X da yopilgan ixtiyoriy F to‘plamni ko‘rib chiqaylik. U ixcham bo'ladi (1.7 teorema bo'yicha). Keyin uzluksiz tasvir f F ixcham to'plamning ( F ) Y da ixcham bo'ladi (1.9 teorema bo'yicha). Y fazo Hausdorff, shuning uchun f to'plami ( F ) – yopiq (1.8 teorema bo'yicha). Shunday qilib, f xaritalash yopiladi.
Xulosa 2.1. Bijektiv uzluksiz xarita f : X  Y ixcham fazoning Y Gausdorff fazosiga Y - gomeomorfizm.
Isbot . X ixcham fazoning ixtiyoriy yopiq F kichik to'plamini ko'rib chiqaylik. Taklif 2.1 bo'yicha, rasm f ( F ) yopiq to‘plamdir. Keyin, teorema 1.1 bo'yicha, xaritalash f  ^–1 uzluksiz, shuning uchun f gomeomorfizmdir.
Taklif 2.2. Xaritalash f bo'lsin : X  Y nuqtasi y nuqtasi ustida yopilgan  Y va Z to'plami X da yopiq bo'lsin . Keyin kichik xarita g = f | _Z : Z  Y nuqta ustida yopilgan . Xususan, agar f xaritalash yopiq bo'lsa (har bir y nuqtasi ustida  Y ), keyin g xaritalash ham yopiladi.
Isbot. Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik  Y va U mahallasini hisobga oling  Z qatlam g ^–1 ( y ). Keyin X ochiq U to'plamini o'z ichiga oladi shundayki U = U   Z. _ O‘rnating _ = U  ( X \ Z ) f qavatning qo'shnisi bo'ladi ^–1 ( y ). f xaritalash y nuqtasi ustida yopilgan  Y , shuning uchun nuqtaning shunday mahallasi Oy bor y bu f ^-1 ( Oy ) O. _ Keyin g ^-1 ( Oy ) Z   O = Z   U = U. _
Y nuqtasini tanlashning o'zboshimchaligi tufayli  Y , xulosa qilishimiz mumkinki, agar f har bir y nuqtasi ustida yopiq bo'lsa  Y , keyin g xaritalash har bir y nuqtasi ustida yopiladi  Y. _