Ta'rif Agar y fazoda ochilgan har bir o to'plam X fazoda ochilgan to'liq f –1 ( o ) teskari tasvirga EGA bo'lsa, f : X →Y xaritalash uzluksiz deyiladi. Izoh 1

Ta'rif 6. Agar unda faqat fazoning o'zi yoki bo'sh to'plam ham ochiq, ham yopiq to'plam bo'lsa, X topologik fazo bog'langan deyiladi .
Ta'rif 7. X topologik fazodagi H to'plami, agar u induktsiya topologiyasiga nisbatan bog'langan fazo bo'lsa, ulangan deyiladi .
1.2 teorema. X topologik fazo uchun quyidagi shartlar ekvivalentdir:

1. 
   bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamlar mavjud O ₁ va O ₂ , buning uchun O ₁ ∩ O ₂ =  Va O ₁   O ₂ = X ;
   
2. 
   bo'sh bo'lmagan yopiq to'plamlar mavjud F ₁ Va Buning uchun F ₂ F ₁ ∩ F ₂ =  Va F ₁   F ₂ = X ;
   
3. 
   X da arzimagan ochiq-yopiq G to'plam mavjud ;
   
4. 
   uzluksiz sur'ektiv funktsiya mavjud ph : X {12}.
   

Isbot. (1) dan keyin (2) keladi . O ₁ va O ₂ bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamlar bo'lsin, ular uchun O ₁ ∩ O ₂ = va O ₁   O ₂ = X. _ F ₁ to'plamlarni ko'rib chiqing = CO ₁ va F ₂ = CO2 _{_} _ Ular bo'sh bo'lmagan yopiq to'plamlar va F ₁ ∩ F ₂ = va F ₁   F ₂ = X.
(2) dan keyin (3) keladi . F ₁ va F ₂ bo'sh bo'lmagan yopiq to'plamlar bo'lsin, ular uchun F ₁ ∩ F ₂ = va F ₁   F ₂ = X. _ G = to'plamini ko'rib chiqing F ₁  X. _ F ₁ to'plami shart bo'yicha yopiladi va yopiq F ₂ ( F ₁₎ to'plamiga qo'shimcha sifatida ochiq = CF2 ₎ . Shuning uchun G = to'plam F ₁ - X dagi ahamiyatsiz ochiq-yopiq to'plam.
(3) dan keyin (4) keladi . G X da notrivial ochiq-yopiq to‘plam bo‘lsin . Keyin Q = to'plami C.G. X da noan'anaviy ochiq -yopiq.
ph funktsiyasini ko'rib chiqing : X {1, 2}, buning uchun
ph ( x ) =
ph funktsiyasi uzluksiz va sur'ektivdir, chunki {1, 2} toʻplamning har qanday 1 va 2 elementlari uchun ularning teskari tasvirlari mos ravishda G toʻplamlarga teng. Va Q , X da ochiladi.
(4) dan keyin (1) keladi . Keling , ph : X {1, 2} uzluksiz sur'ektiv funktsiya bo'lib, M = to'plami bo'lsin {1, 2}, ya'ni. ph ( X ) = M. _ A to'plamlari = {1} va B = {2} boʻsh emas, M va larda ajratilgan ochiq . ph funktsiyasi sur'ektivdir, shuning uchun quyidagi tenglik bajariladi:
X = ph ^–1 ( M ) = ph ^-1 ( A   B ) = ph ^–1 ( A )  ph ^–1 ( V ),
va ph ^–1 ( A ) va ph ^–1 ( B ) bo‘sh bo‘lmagan ajratilgan to‘plamlar. ph funktsiyasi tufayli uzluksiz, O _{1 ni o'rnating} = ph ^–1 ( A ) va O ₂ = ph ^–1 ( B ) bo‘sh bo‘lmagan, X va X da kesishmaydigan ochiq = O ₁   O ₂ .
1.3 teorema. X topologik fazoda ikkita ajratilgan yopiq to'plam berilgan bo'lsin F ₁ Va F ₂ va birlashma tarkibidagi bo'sh bo'lmagan bog'langan M to'plami F ₁   F2._ _{_} _ U holda M birlashmaga kiritilgan to'plamlardan faqat bittasida joylashgan, bular. yoki ichida F ₁ , yoki ichida F2._ _{_} _
Isbot. F ₁ va F ₂ X dagi ajratilgan yopiq to‘plamlar va bo‘sh bo‘lmagan bog‘langan M to‘plam bo‘lsin  F ₁   F2._ _{_} _ Keyin
M = ( M ∩ F ₁ )  ( M∩ _ F2 ₎ .
F ₁ va F ₂ to'plamlar X da yopiq bo'lgani uchun M to'plamlar ∩ F ₁ va M∩ _ F ₂ M da yopilgan . Lekin M to'plami ulangan, ya'ni. uni ikkita bo'sh bo'lmagan ajratilgan yopiq to'plamga bo'lish mumkin emas, shuning uchun to'plamlardan biri, masalan. M∩ _ F ₂ , bo'sh. Keyin
M = M ∩ F ₁  F ₁ .
Bu xuddi shunday tarzda isbotlangan
1.4 teorema. Agar bog'langan M to'plam ikkita ajratilgan ochiq to'plamlar birlashmasida mavjud bo'lsa O ₁ va X topologik fazosining O ₂ bo'lsa, u butunlay birlashmaga kiritilgan to'plamlardan faqat bittasida joylashgan.
1.5 teorema. f : X→Y bo‘lsin uzluksiz ekran va f ( X ) = Y. _ Keyin agar Shunday qilib, X ulanadi Y izchil.
isbotlash . Keling, bu bo'shliqni taxmin qilaylik Y ulanmagan. Keyin u ikkita bo'sh bo'lmagan ochiq ajratilgan to'plamga bo'linadi
Y = O ₁   O2._ _{_} _
Chunki f uzluksiz xaritalash va f ( X ) = Y , G ₁ ning teskari tasvirlari = f ^–1 ( O ₁ ) va G ₂ = f ^–1 ( O ₂ ) bo'sh bo'lmagan ajratilgan ochiq to'plamlar bo'ladi, ular yig'indisida butun X fazoni beradi , bu uning bog'liqligiga zid keladi.