Ta'rif Agar y fazoda ochilgan har bir o to'plam X fazoda ochilgan to'liq f –1 ( o ) teskari tasvirga EGA bo'lsa, f : X →Y xaritalash uzluksiz deyiladi. Izoh 1
Download 358.11 Kb.
|
1527hbbuuhu
|
2.6 teorema. Uzluksiz funksiya f : [ a ; b ] → R u faqat monotonik bo'lsa, ulanadi, ya'ni. har qanday x, x nuqtalari uchun qachon [ a ; b ], bu erda x x , ikkita xususiyatdan faqat bittasi qondiriladi: f ( x ) f ( x ) yoki f ( x ) f ( x ).
Isbot. Zaruriyat. f funktsiyasi ixcham to'plamni Hausdorff fazosiga solishtiradi, shuning uchun u yopiq (2.1-taklif bo'yicha). Keyin, 2.3 teoremaga ko'ra, f funktsiya tolalar bo'yicha bog'langan. Faraz qilaylik, f monotonik emas. Keyin shunday nuqtalar mavjud x 1 , x 2 , x 3 [ a ; b ] va x 1 < x 2 < x 3 , buning uchun tengsizliklar tizimi mavjud: . Рис. 5. Рис. 6. Keling, f ( x1 ) _ = y 1 , f ( x2 ) _ = y 2 , f ( x3 ) _ = y 3 va y 3 y 1 (yoki y 1 y 3 ). U holda f –1 ( y 3 ) qavat y = chiziqning bog’langan yopiq to’plamidir y 3 (5-rasm), ya'ni. segment. Funktsiyaning oraliq qiymati haqidagi teoremaga ko'ra, x nuqta mavjud [ x 1 ; x 2 ) va f ( x ) = y 3 . f –1 ( y 3 ) qavatining ulanishi tufayli [ A ; B ] (5-rasmga qarang) butunlay f –1 ( y 3 ) qavatida yotishi kerak. Lekin nuqta ( x 2 ; y 2 ), bu erda x < x 2 < x 3 , y = qatoriga tegishli emas y 3 , shuning uchun f –1 ( y 3 ) qatlami f –1 ( y 3 ) da yopilgan ikkita bo’sh bo’lmagan ajratilgan to’plamga bo’linadi . Bu f funktsiyaning tolali bog'lanishiga zid keladi . Shuning uchun f monotonikdir. Adekvatlik. Faraz qilaylik, f funksiya ulanmagan. Binobarin, f tolaga bog'liq emas (2.3 teorema bo'yicha). Keyin shunday y nuqtasi mavjud R bu qatlam f –1 ( y ) – uzilgan, ya’ni. f –1 ( y ) = O 1 O 2 , bu yerda O 1 va O 2 f –1 ( y ) da boʻsh boʻlmagan ajratilgan yopiq toʻplamlardir (6-rasm). Shunday qilib, x 1 nuqtalari mavjud O 1 , x 2 O 2 va x nuqta , bu erda x 1 < x < x 2 va x O 1 , x Oh 2 nima . f funksiyaning monotonlik shartiga zid keladi . Bu f funksiyaning ulanganligini bildiradi. Bu teorema oraliqda uzluksiz boʻlgan bogʻlangan funksiyalar oʻsmaydigan yoki kamaymaydigan funksiyalar ekanligini bildiradi. Bu fakt oraliq holatiga umumlashtiriladi ( a ; b ). Agar ulangan funktsiya f chekli sonli uzilish nuqtalari bilan R da aniqlangan bo'lsa , u holda uning umumiy monotonligi buziladi, lekin ta'rif sohasini chekli sonli intervallarga bo'lish mumkin, ularning har birida f funktsiyasi monoton bo'ladi. Download 358.11 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|