Ta'rif Agar y fazoda ochilgan har bir o to'plam X fazoda ochilgan to'liq f –1 ( o ) teskari tasvirga EGA bo'lsa, f : X →Y xaritalash uzluksiz deyiladi. Izoh 1

M isol. Agar xaritalash f : X  Y nuqta ustida y , keyin f qatlam ulanadi ^–1 ( y ) bog‘langan to‘plam bo‘lishi shart emas. Masalan, f = pr _Y : X  Y  Y – Y ga proyeksiya , bunda X = Y = [0; 1] (8-rasm). y = nuqtasini ko'rib chiqing  Y va f qatlami y nuqtasi ustida ^–1 ( y ) . z nuqtasi bo'lsin = ( x ; y ) X  Y , bu erda x = , y = . Keyin f qatlami ^–1 ( y ) \ { z } - uzilgan to‘plam. Displey f = pr _Y bu holda u bog'langan bo'lib qoladi, chunki har qanday bog'langan mahalla uchun U nuqta y tube f ^–1 ( U ) – chiziqli bog‘langan, shuning uchun quvur f ^–1 ( U ) – ulangan.


2.5. Xaritalarning qatlamli mahsuloti
Ta'rif 20. f bo'lsin : X  Y va g : Z  Y – uzluksiz xaritalashlar. Qatlamli mahsulot f Bu xaritalashlardan g xaritalash h : T deb ataladi  Y , qayerda

Va
.
Ushbu ta'rifdan bunday ta'rif nomining ma'nosi kelib chiqadi:

har qanday nuqta uchun y Y. _
Shunday qilib, 2.5-sonli xulosaga ko'ra, quyidagi teorema aniq bo'ladi:
2.9 teorema. f : X bo'lsin Y Va g : Z Y qatlamma-qavat bog'langan. U holda h = f mahsulot g, shuningdek, tolali bog'langan xaritalashdir.
Lemma 2.4. f , g : X bo'lsin Y - Hausdorff fazosi Y bo'ylab doimiy xaritalar. Keyin to'plam T = { x X : f ( x ) = g ( x )} X da yopilgan.
Isbot . X to'plami ekanligini isbotlaylik \ T ochiq, ya'ni. har qanday x nuqta uchun X nuqtaning Ox qo'shnisi bor , shundayki Ox  X \ T. _
Keling, ixtiyoriy x nuqtasini olaylik X \ T. _ Keyin f ( x ) = y ₁  Y , g ( x ) = y ₂  Y. _ Y fazo Hausdorff bo'lgani uchun y 1 _nuqtaning O y 1 _va y 2 nuqtaning O y ₂ qo'shnilari mavjud bo'ladi _.
O y ₁   O y ₂ = . {*}
f va g xaritalashlar uzluksiz, shuning uchun f ^–1 ( Oy ₁ ), g ^{– 1} ( Oy _{2 )} toʻplamlar Y da ochiq. va x  f ^–1 ( Oy ₁ ), x g ^–1 ( Oy ₂ ). Ox mahallasini ko'rib chiqaylik = f ^–1 ( Oy ₁ )  g ^–1 ( Oy ₂ ) ball x . Aytaylik, Oh   T ≠ , ya'ni. shunday x _{1 nuqta bor}  Oh , nima f ( x1 ₎ = g ( x1 ) _{_} = y . Lekin y nuqtasi ham Oy ₁ mahallasiga , ham Oy ₂ mahallasiga tegishli boʻlishi kerak , bu esa {*} shartiga ziddir.
Lemma 2.5. Agar X va Y bo'shliqlar ixcham bo'lsa, ularning mahsuloti X Y - ixcham to'plam.
Isbot . X fazoning ixtiyoriy qo'zg'almas nuqtasi bo'lsin va Ō = X fazoning ochiq qoplamasi bo'lsin . Y. _ Qatlamni ko'rib chiqing
= Y  { x }.
Y fazosiga gomeomorf , shuning uchun u ixcham to'plamdir. Keyin ochiq qopqoqdan
Ō ( x ) =  Ō ,
(bu erda U _( x ) qatlamning x nuqtasi ustidagi ba'zi nuqtalarini o'z ichiga olgan to'plamdir ) qatlamning cheklangan ochiq pastki qoplamini tanlash mumkin ō ( x ) = . Uyushma
U ( x ) = ( x ) (**)
qatlamni o'z ichiga olgan ochiq to'plam va pr _X yopiq xaritalashdir ( Y fazoning ixchamligi va Lemma 2.3 tufayli). Binobarin, x nuqtaning Ox qo'shnisi borki, shunday  U ( x ). Oila { O x : x  X } X fazoning ochiq qoplamini hosil qiladi. X ning ixchamligi tufayli { Ox _i ning cheklangan pastki qoplamasi mavjud : i = 1,.., k }. Keyin oila ō =  X fazoning chekli pastki qoplamini hosil qiladi Y. _
2.10 teorema. Keling, f : X  Y Va g : Z  Y - X va Z ixcham fazolarining Y Hausdorff fazosiga bog'langan xaritalari. U holda h = f mahsulot g ham ixcham T fazoning bog`langan xaritasi hisoblanadi.
Isbot. Qatlamma-qavat mahsulotining ta'rifiga ko'ra, ( , Y Hausdorff fazosiga doimiy xaritalashdir. ) va . Keyin, Lemma 2.4 bo'yicha T to'plam X fazoda yopiladi  Z , bu Lemma 2.5 tomonidan ixchamdir. Binobarin, T to‘plam ixcham (1.7 teorema bo‘yicha), uning uzluksiz xaritadagi h tasviri h ( T ) Y da yopilgan (1.9 va 1.8 teoremalar bo‘yicha). Demak, h xaritalash yopilgan.
Shunday qilib, 2.9 va 2.3 teoremalari tufayli h = f xaritalash g ulanadi.
Quyidagi teorema qaysi holatda xaritalashlar X fazoga parallel bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi. Buni isbotlash uchun sizga kerak bo'ladi
Lemma 2.6. Agar X va Y bo'shliqlari Hausdorff bo'lsa, ularning mahsuloti X Y - Hausdorff to'plami.
Isbot. z ₁ va z ₂ X fazoning ixtiyoriy qo'zg'almas nuqtalari bo'lsin Y. _ X bo‘shliqlarning x ₁ = pr _X ( z ₁ ), x ₂ = pr _X ( z ₂ ) va y ₁ = pr _Y ( z ₁ ), y ₂ = pr _Y ( z ₂ ) nuqtalarini ko‘rib chiqaylik. va Y. _ z ₁ va z ₂ nuqtalari har xil, shuning uchun x ₁  x ₂ yoki y ₁  y2._ _{_} _ y ₁ bo'lsin  y2._ _{_} _ Keyin, Hausdorff fazosining ta'rifiga ko'ra, Yda y 1 _va y 2 _nuqtalarning mos ravishda Oy ₁ va Oy ₂ mahallalari mavjud bo'lib , Oy ₁  Oy ₂ = . pr _Y proyeksiyasi uzluksiz xaritadir, shuning uchun to'plamlar X da ochiq Y va ajratilgan. Bundan tashqari, z ₁  va z ₂  . Shunday qilib, X maydoni Y - ta'rifi bo'yicha Hausdorff.