Tavakkalchilik va aniqmaslik sharoitida yechim qabul qilish

Laplas usuli

Yechim qabul qilish jarayoni aniqmaslik sharoitida ro‘y bera- yotganligi sababli, tabiatning holatlarini bildiruvchi θ tasodifiy miqdor bo‘lib, u ro‘y berishi mumkin bo‘lgan θ₁, θ₂, ..., θ_n holat- larning qaysi biri ro‘y berishi haqida hech qanday ma’lumot yo‘q. Xususan, θ tasodifiy miqdor θ₁, θ₂, ..., θ_n holatlarni qanday ehti- mollik bilan ro‘y berishi ham butunlay noma’lum.

Σ
Demak, θ tasodifiy miqdor θ₁, θ₂, ..., θ_n holatlarni turlicha ehtimolliklar bilan sodir qiladi degan ma’lumot yo‘q. Shu sababli, to‘la asoslanmagan tamoyilga ko‘ra, θ tasodifiy miqdor θ₁, θ₂, ..., θ_n holatlarni teng ehtimollik bilan sodir qiladi deb faraz etish mumkin. U holda yechim qabul qiluvchining α_i strategiyasi,

n
unga ¹
n


j=1
^wij
o‘rtacha yutuqni beradi. Demak, u bu o‘rtacha yu-

tuqni maksimum qiluvchi α_k strategiyasini tanlaydi, ya’ni

1
max
^αi ⁿ
n ₁

Σ
w_ij = _n
j=1
n

Σ
^wkj
j=1

Bu optimal strategiyani Laplas kriteriyasi yordamida tanlash deb ataladi.
2-masala. Firma uch turdagi α₁, α₂, α₃ mahsulot ishlab chiqarish imkoniyatiga ega bo‘lib, ularni sotishdan keladigan foyda, ularga nisbatan bo‘lgan talab miqdoriga bog‘liq. Talab esa tasodifiy miqdor bo‘lib, u θ₁, θ₂, θ₃ holatlardan birida bo‘lishi mumkin. Bu holatlarga mos ravishda ishlab chiqarilgan mahsu- lotlarni sotishdan keladigan foyda quyidagi jadval ko‘rinishida berilgan.
1.3-jadval

	θ1	θ2	θ3
α1	10	5	3
α2	2	6	1
α3	4	3	8

U holda Laplas usuliga asosan

Σ1max w = max
3
ij
1
(18, 9, 15) =

^αi ³
3
j=1

max(6, 3, 5) = 6.

−
Demak, firma keyinchalik talab qanday bo‘lishidan qat’i nazar Laplas kriteriyasiga asosan α₁ mahsulot ishlab chiqarish strate- giyasini qo‘llashi lozim ekan. Shunda eng katta foyda 6 ga teng bo‘ladi. Boshqa strategiyalar α₂, α₃ da esa foyda mos ravishda 3 va 5 ga teng, ya’ni kam bo‘ladi.

Maksimin usuli

Bu o‘ta pessimistik kriteriya hisoblanib, juda ham ehtiyotkor (pessimist, umidsiz) shaxslar uchun, mo‘ljallangan. Ushbu kri- teriyada ro‘y berishi mumkin bo‘lgan noqulay holatlar ichidan, o‘z imkoniyatidan kelib chiqqan holda, eng maqbul bo‘lgani tanlanadi. Bu kriteriyaning tub ma’nosini anglash uchun, 1.1- jadvalni ko‘raylik.
Yuqorida aytilganlarga asosan, agar yechim qabul qiluvchi α_i strategiyasini qo‘llasa va tabiat tomonidan noqulay holat ro‘y bersa, uning yutug‘i


w_i = min w_ij
j

ga teng bo‘ladi. Demak, u shunday α_i strategiyani qo‘llashga harakat qiladiki, natijada minimal yutuqlarning eng kattasi aniq-

lanadi, ya’ni



i

i

j
w_∗ = max w_i = max min w_ij (1.2)
(1.2) ning maksimal qiymatini ta’minlovchi α_k yechim qabul qiluvchining maksimin optimal strategiyasi deb ataladi.

−
Yuqorida aytilganlarga asosan α_k strategiyani qo‘llash bilan, yechim qabul qiluvchi kamida w_∗ kafolatlangan yutuqqa eri- shadi.
1-misol. Quyidagi

	θ1	θ2	θ3	θ4
α1	5	9	2	5
α2	6	8	9	1
α3	7	4	7	3

jadval elementlari bilan yechim qabul qiluvchining yutug‘i beril- gan bo‘lsin.
Har bir i = 1, 2, 3 uchun, min w_ij ni aniqlaylik:
j

min w_1j = min(5, 9, 2, 5) = 2, min w_2j = min(6, 8, 9, 1) = 1,

j j
min w_3j = min(7, 4, 7, 3) = 3.
j

Bundan

w_k = max min w_ij = max(min w_1j, min w_2j, min w_3j) =
i j j j j

max(2, 1, 3) = 3

ekanligi kelib chiqadi. Demak, yechim qabul qiluvchining optimal maksimin strategiyasi α₃ bo‘lib, uning kafolatlangan yutug‘i 3 ga teng ekan.
Izoh. Mabodo, W = (w_ij) jadvalning elementlari yechim qabul qiluvchining xarajati (ziyoni, mag‘lubiyati)ni bildirsa, yuqoridagi mulohazalar yordamida, kafolatlangan xarajat
min max w_ij = min(max w_i1, max w_i2, max w_i3) =
j i i i i

min(7, 9, 9, 5) = 5

ga teng bo‘ladi. Bunda ham tanlanishi lozim bo‘lgan strategiya
α₃ bo‘ladi, ammo min max w_ij max min w_ij.
j i i j

Sevidj usuli

Ma’lumki, max min w_ij soni yechim qabul qiluvchining kafolat-
i j
langan yutug‘i bo‘ladi.

−
Bu kriteriya mezon yechim qabul qiluvchi uchun, shunchalik pessimistki, u ayrim hollarda mantiqsiz yo‘l tutishga olib kelishi mumkin. Bunday holat ro‘y berish mumkinligini quyidagi sonli misol orqali ko‘rsatamiz:
1.4-jadval

	θ1	θ2
α1	500	10
α2	12	15

Bu 1.4-jadval bilan berilgan o‘yinda, aniqlash mumkinki, mak- simin kriteriyasi yordamida yechim qabul qiluvchi α₂ strate- giyasini tanlash hisobiga oladigan, kafolatlangan yutug‘i 12 ga teng bo‘ladi. Bunda, yechim qabul qiluvchi α₁ strategiyasini tan- laganda, tabiat tomonidan θ₁, θ₂ holatlarning tanlanishiga qarab, mos ravishda, yoki 500, yoki 10 yutuqqa ega bo‘lar edi. Shu sababli, yechim qabul qiluvchilarning aksariyati ichki sezgi (intu- itsiya) orqali α₁ strategiyani ma’qul ko‘rishadi. Bunday "mantiq- siz" vaziyatdan chiqishda Sevidj kriteriyasi yordam beradi. Bu- ning uchun, quyidagicha yangi jadval tuziladi:

−
r_ij = max w_kj w_ij,
k
ya’ni R = (r_ij) jadvalning elementlari mos ravishda W = (w_ij) jadvalning har bir ustun elementi shu ustundagi eng katta ele- mentdan ayirib tashlashdan hosil qilinadi. Bunda, hosil bo‘lgan farq r_ij, tabiat tomonidan θ_j holat tanlangandagi eng katta yu- tuqdan qanchaga kam ekanligini ko‘rsatib, yechim qabul qiluvchi uchun, afsuslanishni bildiradi (eng katta yutuqqa olib keluvchi strategiyani tanlamaganiga nisbatan). Shu sababli R = (r_ij) jad- val "afsuslanish" jadvali deb ham ataladi.
Yuqorida keltirilgan sonli 2-misol uchun, "afsuslanish" jadvali
R quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

	θ1	θ2
α1	0	5
α2	488	0

Oxirgi jadvalga minimaks kriteriyasini qo‘llab α₁ strategiya optimal strategiya ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Mabodo, W jadval elementlari yechim qabul qiluvchining xarajatini bildirsa "afsuslanish" jadvali R ning elementlari quyidagicha quriladi:



−
r_ij = w_ij min w_kj,
k

−
ya’ni, ustunning eng kichik elementi shu ustun elementlaridan ayirib tashlanadi. Shundan so‘ng "afsuslanish" jadvali R ga minimaks kriteriyasini qo‘llash orqali yechim qabul qiluvchining optimal strategiyasi aniqlanadi.

−
Bunda, shunga e’tiborni qaratamizki W jadvalning element- lari yutuqni yoki xarajatni bildirishidan qat’i nazar, ularning "afsuslanish" jadvaliga bir xil minimaks kriteriyasi qo‘llaniladi va bu bilan Sevidj kriteriyasi asosida yechim qabul qiluvchining optimal strategiyasi aniqlanadi.