Текст лекции множество и его элементы

Свойства операций над множествами. Переместительный закон 
пересечения и объединения множеств. Из него следует, что для любых 
множеств А и В справедливы равенства АВ = ВА и АВ = ВА. 
Для пересечения и объединения множеств справедлив также сочетательный
закон: для любых множеств А, В и С выполняются равенства
(АВ)С=А(ВС), (АВ)С=А(ВС) 
Пересечение и объединение множеств связаны друг с другом 
распределительными законами. Для любых множеств А,В и С справедливы 
равенства 
(АВ)С=(АС)(ВС), (АВ)С=(АС)(ВС) 
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения, и 
нет скобок, то сначала выполняют пересечение, т.к. считают, что операция 
пересечения более «сильная», чем операция объединения. 
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить 
наше представление о классификации. 
Классификация — это действие распределения объектов по классам на 
основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других 
классов. 
В процессе изучения предметов и явлений окружающего мира мы 
постоянно сталкиваемся с классификацией. Классификация широко 
используется в биологии, химии, математике, языке и многих других 
науках. Она облегчает процесс усвоения знаний. 
Классификация в любой области человеческой деятельности связана с 
разбиением множества на подмножества (классы). Например, 
классификация частей речи, членов предложения, чисел, геометрических 
фигур и так далее. 
Полученные подмножества должны обладать некоторыми свойствами: 
1) они не должны быть пустыми; 
2) не должны содержать общих элементов; 
3) объединение всех подмножеств должно равняться самому множеству. 
Определение: Классификацией или разбиением множества на классы 
называется представление этого множества в виде объединения непустых 
попарно непересекающихся своих подмножеств. 

---

Как правило, целью классификации является систематизация наших 
знаний. Например, в биологии имеется классификация животных, 
охватывающая до 1,5 млн. различных видов животных, в ботанике — 
классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. 
Классификация дает возможность рассмотреть это многообразие в 
определенной системе, выделить интересующие нас виды растений или 
животных. 
Широко применяется классификация в математике. Например, 
натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше 
развернутого) бывают острые, прямые и тупые. 
Каким условиям должна удовлетворять правильно выполненная 
классификация? 
Любая классификация связана с расчленением некоторого множества 
объектов.на подмножества. Если при этом каждый элемент данного 
множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех 
выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что 
данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.