Tema: Predikatlar Joba

Ta’rif: 1) M jıynaqta anıqlanǵan hár qanday muloxaza hám predikat predikatlar logikasining formulası bolıp tabıladı;
2) Egar formula bolsa, ol jaǵdayda ┐ lar ham formuladir;
3) Egar F va G formula bolsa, ol jaǵdayda va ham predikatlar logikasining formulasi boladi;
4) Predikatlar mantiqidagi formulalar faqat 1), 2), 3) formulalar orqali tuziladi.
Matematikalıq muloxazalarni logikalıq belgiler járdeminde jazıw ushın ádetde chekli sandaǵı bazis predmetler tańlap alınadı. Qalǵan qasiyet hám munasábetler bazis predikatlar hám de erkli ózgeriwshiler járdeminde dúzilgen tariyp, teoremalar arqalı ańlatıladı.

Matematikada eń zárúrli túsiniklerden biri jıynaq túsinigi bolıp tabıladı. Bul túsinikke birinshi ret nemis matematigi Georg Kantor tiykar salındı.

Jıynaqǵa tariyp berip bolmaydı, onı birpara zatlar, buyımlar, ob'yektlarning kompleksi dep qaraladı.
Jıynaqtı lotin yamasa grek álippesiniń bas xarflari arqalı belgilenedi.
Tariyp: Jıynaqtı quraytuǵın ob'yektlar sol jıynaqtıń elementleri dep ataladı.
Jıynaqtıń elementleri lotin yamasa grek álippesiniń kishi xarflari arqalı belgilenedi.
Elementleri a, b, c,... bolǵan A jıynaqtı A={a, b, c, …} kóriniste jazıladı.
Tariyp: Elementleri sanı chekli bolǵan jıynaqtı chekli jıynaq, elementleriniń sanı sheksiz kóp bolǵan jıynaqtı sheksiz jıynaq dep ataladı.
Misalı, A={0}, B={0, 1}, C={1, 2, …, n} - toplamlar chekli, N={1, 2, …,n,…} to’plam cheksiz to’plam bo’ladi. Birpara jıynaqlardı óz elementleri arqalı jazıw múmkin emes. Bunday waqıtta ol jıynaqlar óz elemetlarining xarakteristik ózgeshelikleri arqalı beriledi. Eger A jıynaqtıń barlıq elementleri qandayda bir P qasiyetke iye bolsa, ol halda A jıynaqtı A={x/P (x) } kóriniste jazıladı.
Mısalı, x²+2x-3=0 teńlemeniń ildizlari toplami A={x/ x²+2x-3=0}, barshe ratsional sonlar toplami esa ko’rinisde jaziladi.
Eger a element A toplamǵa tiyisli bolsa, ol jaǵdayda oni , eger a element A toplamǵa tiyisli bolmasa ol jaǵdayda ko’rinislerde belgilenedi.
Ta’rif: Eger B jıynaqtıń qálegen elementi A jıynaqta ámeldegi bolsa hám kerisinshe, A jıynaqtıń qálegen elementi B jıynaqta ámeldegi bolsa, ol halda A hám B jıynaqlar teń dep ataladı jáne onı A=B kóriniste belgilenedi.
Tariyp: Eger B jıynaqtıń barlıq elementi A jıynaqta ámeldegi bolsa, ol halda B jıynaq A jıynaqtıń bólim kompleksi (jıynaqosti) dep ataladı jáne onı belgilenedi.
belgi saqlanıw belgisi dep ataladı.
Mısalı,- barlıq natural sanlar kompleksi barlıq pútkil sanlar kompleksiniń jıynaqostisi boladı.
Tariyp: B jıynaqtıń barlıq elementleri A jıynaqta ámeldegi bolıp, A de taǵı B ga tiyisli bolmaǵan elementler de ámeldegi bolsa, ol halda B jıynaq A jıynaqtıń tán bólim kompleksi (xosto'plamosti) dep ataladı jáne onı arqalı belgilenedi.
Tariyp: Bir de elementke iye bolmaǵan jıynaq bos jıynaq dep ataladı jáne onı Ø yamasa {} kóriniste belgilenedi.
Mısali, x²+4=0 teńlemeniń haqiqiy sheshimleri toplami bos toplam boladi.
Ta’rif: A jıynaqtıń ózi hám Ø jıynaq sol A jıynaqtıń xosmas bólim kompleksi dep ataladı.
Ø jıynaq hár qanday jıynaqtıń jıynaqostisi boladı.
Qálegen n ta elementli jıynaqtıń barlıq bólim jıynaqları sanı 2 n ga teń.
Jıynaqlar ústinde birlespe, kesilispe, ayırma ámelleri bar.
Ta’rif: A hám B jıynaqlardıń birlespesi dep sol jıynaqlardıń keminde birewine tiyisli bolǵan barlıq elementlerden dúzilgen jıynaqǵa aytıladı jáne onı kóriniste belgilenedi.
Ta’rifga ko’re boladi.
Toplamlardiń birlespesi chekli sondagi A₁, A₂, …, A_n toplamlar ushin kiritish mumkin, ya’ni bo’lib, bu to’plam lardiń keminde bittasiga tegishli elementlardan tuzilgan.
Misal. A={0, 1, 2}, B={1, 2, 3} bolsa, ol jaǵdayda bo’ladi.
Toplamlardiń birlespesi quydagi xossalarga ega:

1. 
   - (kommutativ xossa);
   
2. 
   (assotsiativ xossa);
   
3. 
   ;
   
4. 
   (idempotentlik qonuni).
   

Bul ózgeshelikler jıynaqlar teńligi tariypidan paydalanıp tastıyıqlanadı. (Bul ózgesheliklerden ayırımlarınıń tastıyıqı [1, 2] de keltirilgen).
Tariyp: A hám B jıynaqlardıń kesilispesi dep sol jıynaqlardıń barlıq ulıwma elementlerinen dúzilgen jıynaqǵa aytıladı hám ol kóriniste belgilenedi.
Ta’rifga ko’ra bo’ladi.
Jıynaqlardıń kesilispesin chekli sandaǵı A₁, A₂, …, A_n to’plamlar uchun kiritish mumkin, ya’ni bolip, bul toplam lardiń barshesine teyisli bolǵan elementlarden duziledi.
Misal. A={0, 1, 2}, B={1, 2, 3} bolsa, ol jaǵdayda boladi.
Toplamlardiń kesimi tomendegi sheshimge iye:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   .
   

Bul sheshimlerdin ayrimlariniń isbati [1, 2] da keltirilgen.
Toplamlardiń birlashmasi va kesishmasidan quyidagi xossalar kelib chiqadi:

1. 
   - (birlashmaning kesishmaga nisbatan tarqatish (distributiv) qonuni);
   
2. 
   (Kesilispediń birlespege salıstırǵanda tarqatıw (distributiv) nızamı );
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   
6. 
   
7. 
   1-xossaning isboti [1] da keltirilgan.
   

1, 2- Ózgeshelikler qálegen sandaǵı jıynaqlar ushın da orınlı boladı, yaǵnıy
,
boladi.
Ta’rif: A jıynaqtan B jıynaqtıń ayırması dep A ga tiyisli, lekin B ga tiyisli bolmaǵan barlıq elementlerden dúzilgen jıynaqǵa aytıladı jáne onı A\B ko'rinnishda belgilenedi.
Misal. bolsa ol jaǵdayda A\B={0}, B\A={3} bo’ladi.
Quydagi de-Morgan nızamları orınlı: , .
Invalyutsiya qonuni: .
Ta’rif: A dıń B de hám B dıń A de bolmaǵan elementlerinen dúzilgen jıynaqǵa A hám B jıynaqlardıń simmetrik ayırması dep ataladı jáne onı kóriniste belgilenedi.