Tenglamalar sistemasini yechishning jordan birinchi oddiy chiqarish usuli

TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING JORDAN BIRINCHI ODDIY CHIQARISH USULI

Siz «Oliy matematika» fanidan tenglamalar sistemasini Kramerning determinantlar usuli, Gaussning noma’lumlarnini ketma-ket yo’qotish usuli va teskari matrisa usuli bilan yechishni o’rgangansiz. Endi tenglamalar sistemasini Jordan chiqarish usullari bilan yechishni o’rganamiz. Endi tenglamalar sistemasini yechishda Jordan chiqarish usulini tenglamalar va noma’lumlar soniga teng bo’lgan hol uchun ko’rib chiqaylik. Bizga uchta noma’lumdan iborat quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan

bo’lsin:

y1

= a11x1 + a12x2+ a13x3 ,

y2

= a21x1 + a22x2+ a23x3 ,

(1)

y3

= a31x1 + a32x2+ a33x3 .

Tenglamalar sistemasining koeffisiyentlaridan Jordan chiqarish usulini 1-jadvalni tuzamiz:

					1-jadval
		x1	x2		x3
y1=		[a11]	a12		a13
y2=		a21	a22		a23
y3=		a31	a32		a33
Bu yerda:	x1- hal qiluvchi ustun (HQU), y1- hal qiluvchi satr				(HQS), a11- hal

qiluvchi element (HQE) bo’ladi.

• 
  1) Sistemaning birinchi tenglamasini x1 ga nisbatan yechib olamiz
  

a11x1 = y1 - a12x2 - a13x3

x1

= (1/ a11) y1 - (a12 / a11) x2 - (a13 / a11) x3 (2)

2)Endi (2)tenglikning qiymatlarini (1) sistemadagi ikkinchi va uchinchi

tenglamaga qo’yamiz. Keyin tegishli soddalashtirishlarni bajarib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

y2 = a21[(1/ a11) y1 - (a12 / a11) x2 - (a13 / a11) x3] + a22x2+ a23x3 =
= (a21/ a11) y1 - a21(a12 / a11) x2 - a21(a13 / a11) x3+ a22x2+ a23x3=

= (a21/ a11) y1+ a22x2 - a21(a12 / a11) x2 + a23x3 - a21(a13 / a11)x3 =
= (a21/ a11) y1+ [a22 - a21(a12 / a11)]x2 + [a23 - a21(a13 / a11)]x3;
y3 = a31[(1/ a11)y1 - (a12 / a11)x2 - (a13 / a11)x3] + a32x2+ a33x3 =
= a31(1/ a11)y1 - a31 (a12 / a11)x2 - a31(a13 / a11)x3 + a32x2+ a33x3

= a31(1/ a11)y1 +a32x2- a31 (a12 / a11)x2+a33x3 - a31(a13 / a11)x3 =

= a31(1/ a11)y1 + [a32 - a31 (a12 / a11)]x2+[a33 - a31(a13 / a11)]x3.

(1.2)

2. 
   Endi (2), (1.1) va (1.2) lardan quyidagi sistemani tuzamiz:
   

x1 = (1/ a11) y1 - (a12 / a11) x2 - (a13 / a11) x3

y2	= (a21/ a11) y1+ [a22 - a21(a12 / a11)]x2 + [a23			- a21(a13 / a11)]x3;		(3)
y3	= (a31/ a11)y1 + [a32 - a31 (a12 / a11)]x2+[a33 - a31(a13 / a11)]x3.
	Sistemaning koeffisiyentlaridan quyidagi 2-jadvalni tuzamiz:
									2 -jadval
		▼y1			x2				x3
	►x1=	1/ a11	- (a12 / a11)						-(a13 / a11
	y2=	a21/ a11	(a22a11		- a21a12)/a11				(a23a11 - a21a13)/a11
	y3=	a31/ a11	(a32a11		– a31a12)/a11				(a33a11 – a31a13)/a11

Demak, 1- jadvalda birinchi ustun va birinchi satr elementlari bo’yicha 1-marotaba Jordan almashtirish usulini qo’llash amalga oshirildi.

^ Shunday qilib biz berilgan sistema uchun 1-marotaba oddiy Jordan almashtirish usuli ko’llanildi. Bir Jordan jadvalidan ikkinchisini tuzishda:

• 
  Hal qiluvchi element o‘ziga teskari miqdorga almashtiriladi.
  

• 
  Hal qiluvchi ustundagi qolgan hamma elementlar hal qiluvchi elementga bo’linadi.
  
• 
  Hal qiluvchi satrdagi qolgan hamma elementlar hal qiluvchi elementga
  

bo’linadi va ishorasi qarama - qarshiga almashtiriladi.

• 
  Qolgan hamma elementlar quyidagi to‘g‘ri to‘rtburchak formulasi yordamida topiladi
  

b

 a

rk



^arj ^* ^aik

yoki b 

^ark ^* ^aij ^ ^arj ^* ^aik

. (Bu yerda i ≠ r,j≠ k)

rk

^aij

rk

^aij

ark element o’rnida hosil qilinadigan brk

elementni to’g’ri to’rtburchak formulasi

bilan topish uchun:Jordan jadvalidan fragment

…

…

j- hal qiluvchi ustun

…

k-ustun

…

…

…

…

…

…

…

i–hal

…