Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR .
1. CH.t.s.ni Gauss usuli bilan yechishni gapirib bering .

2. qanday holda ch.t.s. yechimga ega emas .

3. qanday holda chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega ?

4. qanday holda ch.t.s. cheksiz ko'p yechimga ega ?

5. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemaning yechimlari fazosi deganda nimani tushunasiz ?

6. Chiziqli ko'pxillik nima ?

17-MA'RO'ZA

MAVZU: 2 VA 3- TARTIBLI DETERMINANTLAR. O'RNIGA QO'YISHLAR

GRUPPASI.
R YE J A:

1. Ikki noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasi va ikkinchi tartibli determinantlar.

2. 3 noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasi va 3-tartibli determinantlar.

3. O'rniga qo'yishlar gruppasi.

4. Juft va tok o'rniga qo'yishlar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3 ].

1. Faraz etaylik bizga


a₁₁x₁ +a₁₂ x₂ = b₁ (1) a₂₁ a₂₂

a₂₁x₁ +a₂₂ x₂ = b₂ -a₁₁ - a₁₂

chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin. (1) ni x₁ va x₂ ga nisbatan yechsak

b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂ b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁

x₁=  , x₂=  (2)

a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁

lar hosil qilamiz. Bu yerda maxraj

a₁₁ a₁₂

d= a₁₁ a₂₂ -a₁₂a₂₁ = (3)

a₂₁ a₂₂

ko'rinishda belgilanib (3)ga ikkinchi tartibli determinant deyiladi. Demak, ikkinchi tartibli determinantni hisoblash uchun uning bosh diagonalidagi elementlari ko'paytmasidan ikkinchi diagonalidagi elementlari ko'paytmasini ayirish kerak ekan. (2) ning suratidagi ifodalarni ham ikkinchi tartibli determinant ko'rinishda yozish mumkin:

b₁ a₁₂ a₁₁ b₂

d₁= b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂= , d₂= b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁ =

b₂ a₂₂ a₂₁ b₂

Bo'lardan foydalanib (2) ni

x₁= d₁ / d , x₂= d₂ / d (4)

ko'rinishda yozish mumkin. (4) ga (1) sistemani yechish uchun Kramer formulasi deyiladi.

Misol.

3x₁ +2x₂ = 5

x₁ - x₂ = 0 sistemani Kramer formulalari yordamida yeching.

Bu yerda

d= 3 2 = -3-2=-5 ; d₁= 5 2 =-5-0=-5; d₂= 3 5 = -5 .

1 -1 0 -1 1 0

Demak, (4) ga ko'ra x₁= -5 / -5 = 1 va x₂= -5 / -5 =1.

Javobi: x₁ = 1 va x₂= 1.

2. Endi faraz qilaylik 3 ta noma'lumli

 a₁₁x₁ +a₁₂ x₂ +a₁₃ x₃ = b₁

 a₂₁x₁ +a₂₂ x₂ +a₂₃ x₃ = b₂ (5)

 a₃₁x₁ +a₃₂ x₂ +a₃₃ x₃ = b₃

chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin. (5)ni x₁ ,x₂ , x₃ larga nisbatan yechamiz. Buning uchun uning birinchi tenglamasini a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ ga ikkinchisini a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ ga va uchinchisini a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ ga ko'paytirib kushamiz. U holda

b₁ a₂₂ a₃₃ + b₂ a₁₃ a₃₂ + b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂

x₁=  . (6)

a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₁₃ a₃₂+ a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂

Buning maxrajini

d= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₁₃ a₃₂+ a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ =

a₁₁ a₁₂ a₁₃

= a₂₁ a₂₂ a₂₃ (7)

a₃₁ a₃₂ a₃₃

deb belgilab olsak , (7) ga 3- tartibli determinant dyoyilali. (7) ning chap tomonidan uni hisoblash qoidasi kelib chiqadi:

   +    - + a₁₁ a₁₂ a₁₃ -

   +    ; a₂₁ a₂₂ a₂₃

      a₃₁ a₃₂ a₃₃

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

Osonlik bilan ko'rish mumkinki, agar (7) da 1-ustun elementlari a₁₁ , a₂₁ ,a₃₁

ni mos ravishda b₁ ,b₂ ,b₃ lar (ozod hadlar ustuni) bilan almashtirsak (6) ning surati hosil bo'ladi, ya'ni (7) dan
b₁ a₁₂ a₁₃

d₁= b₂ a₂₂ a₂₃ = b₁ a₂₂ a₃₃ + b₂ a₁₃ a_{3 2} +b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ -

b₃ a₃₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂ . (8)
(7) va (8) ga asosan (6) ni quyidagicha yoza olamiz: x₁= d₁ / d. Xuddi shuningdek, (5) ni x₂ va x₃ ga nisbatan yechsak x₂= d₂ / d , x₃= d₃ / d larni hosil qilamiz. Bu yerda
a₁₁ b₁ a₁₃ a₁₁ a₁₂ b₁

d₂= a₂₁ b₂ a₂₃ , d₃ = a₂₁ a₂₂ b₂

a₃₁ b₃ a₃₃ a₃₁ a₃₂ b₃ .

Misolar. 1).

2 3 1

d= 4 0 1 = 0+ 4 +3 - 0 -12 - 2=-7.

1 1 1

2).  x+ y+ z= 1

 x- y + z= 0

 x - y- z=-1 chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.

1 1 1 1 1 1

d = 1 -1 1 = 1 -1 +1 +1 +1=4 ; d₁ = 0 -1 1 = 1+0- 1-1+0+1=0

1 -1 -1 -1 -1 -1

1 1 1 1 1 1

d₂= 1 0 1 = 0-1+1-0+1+1 = 2; d₃ = 1 0 1 =1 -1 + 0 + 1+ 1 - 0 = 2.

1 -1 -1 1 -1 -1

Shuning uchun ham x=0/4=0, y=2/4=1/2; z=2/4=1/2.

Javobi: (0, 1/2, 1/2).

3. O'rniga qo'yishlar gruppasi. Faraz etaylik, bizga n ta elementga ega bo'lgan A to'plam berilgan bo'lsin. Bu to'plam elementlarini 1,2,...,n lar bilan nomerlab chikaylik. U holda A ni A={ 1,2,3,...,n} deb yozish mumkin.

1-ta'rif. A to'plamni o'ziga biyektiv (o'zaro bir qiymatli) akslantirishga o'rniga qo'shish deyiladi.

Tushunarliki qaralayotgan to'plamda n! ta o'rniga qo'yish mavjud. Bundan keyin biz s o'rniga qo'yishda 1, 2, 3, ... , n elementlarning mos ravishda i₁ ,i₂ , ... , i_n elementlarga utishini

s =  1 2 3 . . . n 

 i₁ i₂ i₃ . . . i_n 

ko'rinishda belgilaymiz. Agar s =  1 2 3 . . . n  va t=  1 2 3 . . . n 

 i₁ i₂ i₃ . . . i_n   j₁ j₂ j₃ . . . j_n 

o'rniga qo'yishlar berilgan bo'lib i_k = j_k (k= 1,2,..., n) tenglik bajarilsa s va t o'rniga qo'yishlarga teng deyiladi va s= t ko'rinishda yoziladi.

e=  1 2 3 . . . n 

 1 2 3 . . . n  ga ayniy o'rniga qo'yish deyiladi.

n ta elementdan to'zilgan A to'plamdagi barcha o'rniga qo'yishlar to'plamini S_n bilan belgilaymiz. S_n dagi ikkita s va t o'rniga qo'yishning ko'paytmasi deb avvalo s keyin esa t o'rniga qo'yishni bajarish natijasida hosil bo'lgan o'rniga qo'yishga aytiladi.

Masalan: s=  1 2 3 4  t =  1 2 3 4

 4 1 3 2   2 1 4 3 bo'lsin.

U holda s t =  1 2 3 4    1 2 3 4 =  1 2 3 4 

 4 1 3 2   2 1 4 3  3 2 4 1  bo'ladi.

1 - teorema.  S_n ;  - multiplikativ gruppa bo'ladi.

Isboti. Gruppa ta'rifmdagi shartlarning bajarilishini tekshiraylik.

1)  s,t S_n  s t S_n bajariladi;

2)  s,t,l S_n  s (t l)=(s t) l bo'ladi, chunki agar s=  m  t= n  l= k

 n ,  k ,  a bo'lsa, bu tenglik  m     n   k =   m    n     k 

 n    k   a   n   k    a  bo'lib, uning chap tomoni

 m   n  =  m  o'ng tomoni ham  m   k=  m dan iborat.

 n   a  a   n   a  a

3) e=  1 2 3 . . . n 

 1 2 3 . . . n  bo'lib  s S_n uchun s l=s bajariladi.

4) s =  1 2 3 . . . n  s ^-1 =  i₁ i₂ i₃ . . . i_n 

 i₁ i₂ i₃ . . . i_n  ga teskarisi  1 2 3 . . . n  bo'ladi, chunki ss ^-1 = e.

Shunday qilib gruppa ta'rifidagi barcha shartlar bajariladi.  S_n ; 

 gruppaga n-tartibli simmetrik gruppa deb yuritiladi.

Agar s =  1 2 3 . . . n 

 i₁ i₂ i₃ . . . i_n  o'rniga qo'yishda i₁ < i₂ < i₃ < . . .< i_n bo'lsa, u inversiyaga ega emas deyiladi, aks holda inversiyaga ega deyiladi.

Masalan: s=  1 2 3 4 

 4 1 3 2  da inversiyalar soni 1 uchun 1 ta, 2 uchun 2 ta , 3 uchun 0 ta, 4 uchun 1 ta, jami 4 ta inversiya bor.

Berilgan o'rniga qo'yishdagi inversiyalar soni juft bo'lsa, o'nga juft o'rniga qo'yish, agarda inversiyalar soni tok bo'lsa , u holda tok o'rniga qo'yish deyiladi .

O'rniga qo'yishdagi istalgan 2 ta elementning o'rnini almashtirishga transpozisiya deyiladi.

Agar i_k va i_l larning o'rni almashtirilsa, u (i_k , i_l ) ko'rinishda belgilanadi.

2- teorema. Transpozisiya natijasida o'rniga qo'yishlarning jufttoqligi o'zgaradi.

Isboti. s= 1 2 3 . . . k . . . l . . . n  t= 1 2 3 . . . k . . . l . . . n 

 i₁ i₂ i₃ . . . i_k . . . i_l . . . i_n  dan  i₁ i₂ i₃ . . . i_l . . . i_k . . . i_n 

transpozisiya natijasida hosil qilingan bo'lsin. U holda i_k ni i_l dan oldinga o'tkazish uchun l-(к-1) ta inversiya bajarish kerak. Undan keyin i_l ni joyiga (ya'ni i_l-1 dan keyingi joyga ) qo'yish uchun l-(k-1)-1 ta inversiya, jami

l-k+1+l-k+1-1=2(l-k)+1 ta inversiya bajarish kerak.

3-teorema. n! ta o'rniga qo'yishlarning yarmi n! / 2 tasi juft va qolgan yarmi n!/2 tasi tok bo'ladi.

Isboti. Agar n! ta o'rniga qo'yishlardagi juftlari soni p, toklari soni q bilan belgilasak, p+q=n! bo'ladi. Endi agar barcha n! ta o'rniga qo'shishlarda transpozisiya bajarsak, u holda juftlar toklarga,toklari esa juftlarga o'tadi, ya'ni p=q, demak, p=n!/2 va q=n!/2.

4-teorema. Juft o'rniga qo'shishlar to'plami S*_n ko'paytirishga nisbatan gruppa hosil qiladi.

Buning isboti qat'iy keltirishni talabalarga xavola qilamiz < S*_n; . > da birlik element ayniy qo'shish bo'ladi. t ga teskarisi t^-1 S*_n bo'ladi.

Natija. Tok o'rniga qo'shishlar to'plami ko'paytirishga nisbatan gruppa bo'lmaydi.

Bunda birlik element mavjud emas.

Misol.   1 2 3   1 2 3  1 2 3   1 2 3   1 2 3  1 2 3  

S₃ =   1 2 3,  2 3 1 ,  3 1 2,  3 2 1 ,  2 1 3 ,1 3 2  

 

ni qaraylik . S₃ ={ f₀ , f₁ , f₂ , f₃ , f₄ , f₅ } deb belgilab olsak, quyidagi jadvalga ega bo'lamiz. Bu jadvalda birlik element e= f₀ , f₁ ga teskarisi f₂ ; f₂ ga teskarisi f₁ ; f₃ ga teskarisi f₃ ; f₄ ga teskarisi f₄ ; f₅ ga teskarisi f₅ . Shuningdek gruppaning barcha shartlari bajariladi, ya'ni S₃ ;   - multiplikativ gruppa bo'ladi.

 f₀ f₁ f₂ f₃ f₄ f₅

f₀ f₀ f₁ f₂ f₃ f₄ f₅

f₁ f₁ f₂ f₀ f₄ f₅ f₃

f₂ f₂ f₀ f₁ f₅ f₃ f₄

f₃ f₃ f₅ f₄ f₀ f₂ f₁

f₄ f₄ f₃ f₅ f₁ f₀ f₄

f₅ f₅ f₄ f₃ f₂ f₁ f₀

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

1. Ikkinchi tartibli determinant qanday hisoblanadi ?

cos sin

2. Ushbu determinant -sm cos determinantning qiymati nimaga teng ?

Uchinchi tartibli determinant qanday hisoblanadi ?

4. Ushbu 1 1 2

2 -1 1

3 1 4 determinantning qiymati nimaga teng ?

5. O'rniga qo'yishlar gruppasi S_n ;   ning tartibi nechaga teng ?

6. O'rniga qo'yishlarning inversiyasi deganda nimani tushunasiz ?

7. Tok (juft) o'rniga qo'yish deb nimaga aytiladi ?

8. Transpozisiya nima va u qanday xossaga ega ?

9. n ta elementdan to'zilgan juft o'rniga qo'yishlar To'plami multiplikativ gruppa bo'ladimi ?

10. n elementdan to'zilgan tok o'rniga qo'yishlar To'plami gruppa bo'ladimi ?

18- MA'RO'ZA

MAVZU: n - TARTIBLI DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI

REJA:

1. n - tartibli determinantning ta'rifi.

2. Xossalari.

3. Misollar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3] .
1. n – tartibli a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn

kvadrat matrisaning determinanti deb ushbu n! ta hadlar yig'indisidan tuzilgan

_n!

 (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_{n kn} (1)

ifodaga aytiladi. Bunda har bir hadda n ta ko'paytuvchi bo'lib, har bir satr va ustundan birtadan element qatnashadi.  esa

 1 2 3 . . . n 

 k₁ k₂ k₃ . . . k_n 

o'rniga qo'yishdagi inversiyalar sonini bildiradi. Demak , (1) dagi n! / 2 ta had musbat ishora bilan va qolgan n! / 2 ta had esa manfiy ishora bilan olinadi. Berilgan A matrisaning determinanti quyidagicha belgidanadi:

a₁₁ a₁₂ ... a_{1n n!}

detA= D= a₂₁ a₂₂ ... a_2n =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_{n kn} . (2)

- - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn

Misol.. 1). a₁₂ a₂₃ a₃₁ a₅₂ a₄₅ a₅₄ ko'paytma 6-tartibli determinant yoyilmasida qatnashadimi?

Indekslar hosil qilgan o'rniga qo'yish 1 2 3 4 5 6

 2 3 1 5 2 4 dan iborat. Bundan ko'rinadiki ikkinchi ustundan ikkita element olingan. Shuning uchun ham u 6- tartibli determinant tarkibida qatnashmaydi.

2). a₁₂ a₂₃ a₃₁ had 3- tartibli determinantda qanday ishora bidan qatnashadi ?

 = 1 2 3

 2 3 1 o'rniga qo'yishdagi inversiyalar sonini aniqlaylik: 1 uchun 2 ta, 2 uchun 0 ta, 3 uchun ham 0 ta jami 3 ta inversiya bor. Shuning uchun ham bu had uchinchi tartibli determinant tarkibiga minus ishora bilan kiradi.

Determinantning satrlarini ustunlar ustunlarini esa satrlar qilib yozishga uni transponirlash deyiladi.

2. Xossalari.

1. Determinantni transponirlasak uning qiymati o'zgarmaydi.

Isboti.

a₁₁ a₁₂ ... a_{1n n!}

D= a₂₁ a₂₂ ... a_2n =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_{n kn} (1)

- - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn

a₁₁ a₂₁ ... a_{n1 n!}

D' = a₁₂ a₂₂ ... a_n2 =  (-1)^ a_k1,1 a_k2,2 ... a _kn,n, . (2)

- - - - - - - - -

a_1n a_2n ... a_nn

1) va (2) ning o'ng tomonidagi yig'indi barcha n! ta o'rniga qo'yishlar bo'yicha olingani uchun o'ng tomonlari teng. Demak chap tomonlari ham teng bo'lishi kerak, ya'ni

D= D' .

2. Determinantda istalgan 2 ta satrining o'rnini almashtirsak, uning ishorasi o'zgaradi.

Isboti. Agarda D determinantda i- va j- satrlarning o'rinlarini almashtirsak D'determinant hosil bo'ladi.

Bu yerda  1 2 . . . i . . . j . . . n 

 k₁ k₂ . . .k_i ... k_j ... k_n  o'rniga qo'yishni  1 2 . . . i . . . j . . . n  dan birta transpozisiya yordamida hosil ki lish mumkin.  k₁ k₂ . . .k_j ... k_i ... k_n  Transpozisiya tok o'rniga qo'yish bo'lganligi sababli (1) va (2) dagi hadlarning barchasi teskari ishora

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - _n!

D = a_i1 a_{i 2} ... a_in =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_i,,ki ... a_{j ,kj} ...a_{n ,kn} (1)

_{- - - - - - - - - - -}

a_j1 a_j2 ... a<sub>jn

- - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_nn

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - _n!

D' = a_j1 a_{j 2} ... a_jn =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_j,kj ... a_i,ki ... a_{n ,kn} (2)

_{- - - - - - - - - - -}

a_i1 a_i2 ... a<sub>in

- - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_nn

lan olinadi, ya'ni D' = -D.

Natija. 2 ta bir xil satr (ustun) ga ega bo'lgan determinantning kiy-mati nolga teng.

3. Determinantda biror satri (ustuni) nollardan iborat bo'lsa, unday determinantning qiymati nolga teng.

4. Agar determinantdagi biror satr (ustun) elementlari umumiy ko'paytuvchi m ga ega bo'lsa, uni determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

Isboti.

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - _n!

D = ma_j1 ma_{j 2} ... ma_jn =  (-1)^ a_1,k1 a_2,k2 ... (ma_j,,kj )... a_n,kn =

_{- - - - - - - - - - -}

a_n1 a_n2 ... a_nn

a₁₁ a₁₂ ... a<sub>1n

n!</sub> a₂₁ a₂₂ ... a_2n

= m  (-1)^ a_1,k1 a_2,k2 ... a_j,,kj ... a_n,kn = m - - - - - - - - -

a_j1 a_{j 2} ... a<sub>jn

- - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_{nn .}

1- natija. Determinantni biror s soniga ko'paytirish uchun uning bi-ror satri (ustuni) ni shu songa ko'paytirish kifoya.

2- natija. Determinantning biror satri (ustuni) ikkinchi bir satriga proporsional bo'lsa, uning qiymati 0 ga teng.

5. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr (ustun) elementlari 2 ta elementning yig'indisi ko'rinishda ifodalangan bo'lsa, uni 2 ta n-tartibli determinant yig'indisi ko'rinishida yozish mumkin.

Isboti a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - - - - - _n!

D = a_i1+b_i1 a_i2+b_i2 ... a_in+b_in =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ...(a_i,,ki+b_{i ,ki} )... a_{n ,kn} =

_{- - - - - - - - - - - - - - - - n!}

a_n1 a_n2 ... a_nn = (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ...a_i,,ki ... a_{n ,k} +
a₁₁ a₁₂ ... a_1n a₁₁ a₁₂ ... a<sub>1n

n!</sub> a₂₁ a₂₂ ... a_2n a₂₁ a₂₂ ... a_2n

+  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ...b_{i ,ki} ... a_{n ,kn} = - - - - - - - - - + - - - - - - - - -

a_j1 a_{j 2} ... a_jn b_i1 b_i2 ... b<sub>in

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_nn a_n1 a_n2 ... a_{nn .}

Natija. Determinantning birorta satri (ustuni) ni biror songa ko'paytirib ikkinchi bir satri (ustuni) ning mos elementlariga qo'shsak determinantning qiymati o'zgarmaydi.

5. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr (ustun) elementlari qolgan satr (ustun) larining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'lsa, uning qiymati nolga teng.

Isboti yuqoridagi xossalardan bevosita kelib chiqadi.

Misol. 1 2 3 4 1 2 3 1

-1 4 1-4 =4 -1 4 1 -1 = 0. Bunda oxirgi ustunidan 4 ni chikar -

2 1 5 8 2 1 5 2 dik. Natijada 1 va 4 ustunlari bir

0 2 1 0 0 2 1 0 xil bo'lib qoldi.