Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi
Download 0.82 Mb.
|
algebra va sonlar nazariyasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR .
- 16- MAROZA MAVZU: CHIZIqLI TENGLAMALAR SISTEMASINI NOMALUM- LARINI KETMA-KET YUqOTISH USULI (GAUSS USULI) BILAN YECHISH
|
a1 +2a2 +...+i (a i)+...+m a m=0
tenglik bajariladi. i0 deb olishimiz mumkin (aks holda (3)-sistema chiziqli bog'langan bo'lar edi). 0 bo'lganligi sababli i 0, demak, 1 a1 + +2a2 +...+(i )a i+...+m a m=0, ya'ni (3)-sistema chiziqli bog'langan, bu qarama-karshilik (5)-sistemaning chiziqli bog'lanmagan ekanligini ko'rsatadi. 3). Matrisaning j-satrining elementlari ga (0) ko'paytirilib i-satrning mos elementlariga qo'shilgan bo'lsa, u holda a 1 ,a 2 , . . . , a i +a j , . . . ,a m (6) vektorlar sistemasiga ega bo'lamiz. Bizga ma'lumki, (3) va (6) vektorlar sistemalari ekvivalent, ya'ni ularning ranglari teng. 2-teorema. Har bir matrisaning satr bo'yicha rangi ustun bo'yicha rangiga teng. Isboti. Biz (3) va (4) sistemalarning ranglarining teng ekanligini is-botlaymiz. (3) ning bazisi a1 ,a2 , . . . ,ar (7) (4) ning bazisi esa a 1, a 2, . . . , a s (8) bo'lsin. Biz r=s ekanligini isbotlaymiz. Faraz etaylik r ai1x1 + ai2 x2 + ....+ ais xs =0, (i=1,2,...,r) ni to'zib olamiz. r ai11 + ai2 2 + ....+ ais s =0, (i=1,2,...,r). (9) Bu (1 , 2 , ....,s ) yechim (3) dagi qolgan vektorlar ar+1 ,ar+2 , . . . ,am larning birinchi s ta koordinatalardan to'zilgan ak1x1 + ak2 x2 + ....+ aks xs =0, (k= r+1,r+2,...,m) sistemani ham qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, ar+1 ,ar+2 , . . . ,am vektorlarning har biri (7) sistemadagi vektorlar orqali (bazis orqali) chiziqli ifodalanadi: ak =1k a1 + 2k a2 + ....+ rk ar , (k= r+1,r+2,...,m). Bundan (ak1, ak2 , , ...., akn ) = (1k a11 + 2k a21 + ....+ rk ar1 , . . . , 1k a1n + 2k a2n + ....+ rk ar n ) yoki ak1 = 1k a11 + 2k a21 + ....+ rk ar1 , --------------------------------------------- aks = 1k a1s + 2k a2s + ....+ rk ar s , ak,s+1 = 1k a1,s+1 + 2k a2,s+1 + ....+ rk ar,s+1 , (k=r+1,r+2,... ,n) ------------------------------------------------------ akn = 1k a1n + 2k a2n + ....+ rk ar n . Bu tengliklarning birinchi s tasini mos ravishda 1 , 2 , ....,s larga ko'pay-tirib qo'shsak (9) ga asosan ak11+ak2 2 + ....+aks s =1 (1k a11+2k a21 + ....+ + rk ar1 )+2 (1k a12 + 2k a22 + ....+ rk ar2)+...+s(1k a1s + 2k a2s + ....+ rk ar s)= = 1k( a11 1 + a12 2 + ....+a1s s) + 2k( a21 1 + a22 2 + ....+a2s s) + ... + + rk( ar1 1 + ar2 2 + ....+ars s)= 1k 0 + 2k 0 +...+ rk =0 ni hosil qilamiz. Demak,
ak11+ak2 2 + ....+aks s =0 (10) (9) va (10) dan (8) ning chiziqli bog'langan ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham 1 a 1 +2 a 2 +....+s a s =1 (a11 ,a21 ,..., am1 )+2 (a12 ,a22 ,..., am 2 )+ . . . + +s (a1s ,a2s ,..., ams )= ( a111 + a122 + ....+a1ss), a211 + a222 + ....+a2ss), ... , + am11 + am22 + ....+ams s)=(0,0, . . . ,0). Bu esa (8) ning chiziqli erkli ekanligiga ziddir. Demak, r< s bo'la olmas ekan. r > s xoli ham xuddi shunday karaladi. Shuning uchun ham r = s. Chiziqli tenglamalar sistemasining rangi deb uning matrisasining rangiga aytiladi. Agar nolmas satrga ega bo'lgan matrisadagi k-nolmas satrdagi birinchi noldan farqli element(k-1)-nolmas satrdagi birinchi noldan farqli elementdan o'ng tomonda tursa bunday matrisaga pogonali matrisa deyiladi. Tushunarliki matrisaning rangi uning pogonali ko'rinishidagi noldan farqli satrlar soniga teng. Misol. Ushbu matrisaning rangini hisoblang: 2 -1 0 8 A= -4 2 0 -6 6 -3 0 9 2 -1 0 8 2 -1 0 8 2 -1 0 8 2 -1 0 8 -4 2 0 -6 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 6 -3 0 9 0 0 0 -15 0 0 0 -1 0 0 0 0 . Shunday qilib, berilgan matrisaning rangi r(A)=2 .
1). Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi? 2). Chiziqli tenglamalar sistemasining rangi deb nimaga aytiladi ? 3). Matrisaning satrlar (ustunlar) bo'yicha rangi deb nimaga aytiladi? 4). Matrisadagi elementar almashtirishlar uning rangiga qanday ta'sir qiladi?
1. Chiziqli tenglamalar sistemasida yagona yechimga ega bo'lgan xol. 2. Chiziqli tenglamalar sistemasi cheksiz ko'p yechimga ega bo'lgan xol. 3. Misollar. 4. Bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari orasidagi bog'lanish. ADABIYOTLAR [ 1 , 2 , 3 ]. Ushbu mxn -chiziqli tenglamalar sistemasi (ch.t.s.) a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1 a21 x1 +a22 x2 + ....+ a2n xn = b2 .................................................. (1) am1 x1 +am2 x2 + ....+ amn xn = bm berilgan bo'lsin.Uni Gauss usuli bilan yechish uchun uning Ixtiyoriy bir (masa- lan birinchi) tenglamasini yezib olamiz va qolgan tenglamalarning barchasidan birorta noma'lumni (masalan, x1 ni) yuqotamiz. U holda ushbu sistemaga ega bo'lamiz: a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1 a'22 x2 + ....+ a'2n xn = b'2 ................................... (2) a'm2 x2 + ....+ a'mn xn = b'm Tushunarliki (2) sistema (1) ga ekvivalent. Endi (2) sistemadagi 1-tenglamani va qolgan tenglamalardan yana birortasini (masalan 2-tenglamani) yozib olamiz, qolgan barcha tenglamalardan x2 ni yuqotamiz. Shu jarayonni davom ettiramiz. Bunda agar 0=0 ko'rinishdagi tenglama hosil bo'lsa, uni tushirib qoldiramiz. Agarda, 0=b (b0) ko'rinishdagi tenglik hosil bo'lsa,u holda ja-rayenni to'xtatamiz va sistema yechimga ega bo'lmaydi. Shu jarayonni k marta takrorlagandan keyin quyidagi ikki holatdan biri yuz beradi: 1).Oxirgi tenglamada faqat 1 ta noma'lum qatnashib qoladi; 2).Oxirgi tenglamada 1 tadan ortiq noma'lum qatnashadi va ulardan birortasini ham endi yuqotish imkoniyati yuk. 1-holda oxirgi tenglamadan xn ni topib olamiz va uni oxirgidan oldingi tenglamaga qo'yib xn-1 ni topamiz. xn va xn-1 larni topilgan qiymatlarini undan oldingi tenglamaga qo'yib xn-2 ni topamiz va x.k. xn ,xn-1 , ... , x2 larning topilgan qiymatini sistemadagi birinchi tenglamaga qo'yib x1 ni topamiz. Shunday qilib, bu holda berilgan sistema yagona x1 =1, x2 =2, ... ,xn =n yechimga ega. Misol. 1). x1 - x2 + х3 = 2 sistemani Gauss 2x1 + х2-2x3 =-2 usuli bilan 5x1 +2х2-7x3 =-12 yeching. x1 - x2 + х3 = 2 x1 - x2 + х3 = 2 х3 =3 , 3x2 -4х3 =- 6 3x2 -4х3 =- 6 3x2 =4х3 - 6=-6+12=6 7х2 -12х3=-22 -8х3=-24 x2 =2 , x1 = x2 - х3 +2=2+2-3=1. Javobi: x1 = 1, x2 =2 , х3 =3. Ikkinchi holda sistemaning oxirgi tenglamasida faqat birta noma'lumni chap tomonda (masalan, xk ni) qoldirib boshqa noma'lumlarni x k+1 ,..., xn larni erkli o'zgaruvchi sifatida kabo'l qilib hosil bo'lgan sistemani 1-holda gi singari yo'l bilan yechib х1,x2,...,xn larni topamiz va bu holda topilgan yechim хk+1,...,xn erkli o'zgaruvchi (parametr) larga bog'liq bo'ladi va ularga Ixtiyoriy qiymatlar berib sistemaning cheksiz ko'p yechimini topamiz. Misol. 2). x1 - x2 + х3 = 2 x1 -x2 + х3 = 2 x1 - x2 + х3 = 2 2x1 + х2- 2x3 = - 2 3x2 -4х3 =- 6 3x2 -4х3 =- 6 x1 +2x2 -3х3 = - 4 -3x2 +4х3 = 6 3x2 =-6+4х3 , x2 = - 2 + (4/3)х3 , x1= 2+x2 - х3 =2-2+(4/3) х3 - х3=х3 /3 . Javobi: х1= х3 /3; х2=2+(4/3) х3 ; х3 R. Bu almashtirishlarni tug'ri burchakli matrisalar yordamida ham bajarish mumkin. 1 -1 1 2 1 -1 1 2 1 -1 1 2 2 1 -2 -2 0 3 -4 -6 0 3 -4 -6 1 2 -3 -4 0 -3 4 6 0 0 0 0 . 4. Faraz etaylik
csistema bilan birga o'nga mos ai1x1 +ai2 x2 + ....+ ain xn = 0 , i=1,2,3, ... , m . (2) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi ham berilgan bo'lsin. 1. (2) sistemaning ikkita (1, 2, . . . ,n) va (1, 2, . . . , n) yechimlarining yig'indisi va ayirmasi ham shu sistemaning yechimi bo'ladi.
2. (2)-sistemaning ixtiyoriy yechimining R soniga ko'paytmasi yana shu sistemaning yechimi bo'ladi. Isboti. (1, 2, . . . ,n) (2)-sistemaning yechimi bo'lsin, ya'ni ai11 +ai22+ + ....+ ain n = 0 , u holda ai1(1)+ai2 (2)+ ....+ ain(n) = ( ai11 +ai22 + + ....+ ain n)= 0=0. Bu ikki xossadan kelib chiqadiki, (2) sistemaning yechimlar to'plami W arifmetik fazo bo'lar ekan (n o'lchovli arifmetik fazo mavzusiga qarang), ya'ni W, n o'lchovli arifmetik fazoning Qism fazosi ekan. 3. (1) ning ixtiyoriy (1, 2, . . . ,n) va (1, 2, . . . , n) yechimlarining ayirmasi (2) sistemaning yechimi bo'ladi.
4. (1) (1) ning ixtiyoriy yechimi (1, 2, . . . ,n) bilan (2) ning yechimi (1, 2, . . . ... , n) larning yig'indisi va ayrmasi ham (1) ning yechimi bo'ladi. Isboti. ai11 +ai2 2 + ....+ ain n = bi va ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n = 0 bo'lsa , u holda ai1(1 1)+ai2 (2 2)+ ....+ ain (n n)= ai11 +ai2 2 + ....+ +ain n (ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n )= bi 0 = bi bo'ladi. 3 va 4 - xossalardan kelib chiqadiki, (1)- sistemaning yechimlarini hosil qilish uchun uning birta х0 =(1, 2, . . . ,n) yechimiga (2) - sistemaning yechimini qo'shish kifoya, ya'ni agar (1) nig yechimlari to'plamini H desak, H=х0+W. Demak, H to'plam W qism fazoni х0 vektorga siljitish natijasida hosil bo'ladi. Bunday holda (1) ning yechimlari to'plami chiziqli ko'pxillilik tashkil etadi deyiladi. Download 0.82 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|